Найти периметр треугольника ABC по координатам вершин

Решение задачи. Найти периметр треугольника \(ABC\), если известны координаты его вершин \(A(-3; 5)\), \(B(3; -3)\) и середины стороны \(BC\) — точки \(M(6; 1)\). Для нахождения периметра треугольника \(ABC\) нам нужно знать длины всех его сторон: \(AB\), \(BC\) и \(AC\). 1. Найдем длину стороны \(AB\). Используем формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Для точек \(A(-3; 5)\) и \(B(3; -3)\): \[ AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} \] \[ AB = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-8)^2} \] \[ AB = \sqrt{6^2 + (-8)^2} \] \[ AB = \sqrt{36 + 64} \] \[ AB = \sqrt{100} \] \[ AB = 10 \] 2. Найдем координаты вершины \(C\). Точка \(M(6; 1)\) является серединой отрезка \(BC\). Формула для координат середины отрезка \( (x_m, y_m) \) с концами \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \] Мы знаем \(B(3; -3)\) и \(M(6; 1)\). Пусть \(C(x_C; y_C)\). Для x-координаты: \[ 6 = \frac{3 + x_C}{2} \] \[ 12 = 3 + x_C \] \[ x_C = 12 - 3 \] \[ x_C = 9 \] Для y-координаты: \[ 1 = \frac{-3 + y_C}{2} \] \[ 2 = -3 + y_C \] \[ y_C = 2 + 3 \] \[ y_C = 5 \] Таким образом, координаты вершины \(C\) равны \((9; 5)\). 3. Найдем длину стороны \(BC\). Мы знаем \(B(3; -3)\) и \(C(9; 5)\). \[ BC = \sqrt{(9 - 3)^2 + (5 - (-3))^2} \] \[ BC = \sqrt{6^2 + (5 + 3)^2} \] \[ BC = \sqrt{6^2 + 8^2} \] \[ BC = \sqrt{36 + 64} \] \[ BC = \sqrt{100} \] \[ BC = 10 \] Также можно заметить, что \(BM\) - это половина \(BC\). \[ BM = \sqrt{(6 - 3)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Тогда \(BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot 5 = 10\). 4. Найдем длину стороны \(AC\). Мы знаем \(A(-3; 5)\) и \(C(9; 5)\). \[ AC = \sqrt{(9 - (-3))^2 + (5 - 5)^2} \] \[ AC = \sqrt{(9 + 3)^2 + 0^2} \] \[ AC = \sqrt{12^2 + 0} \] \[ AC = \sqrt{144} \] \[ AC = 12 \] 5. Найдем периметр треугольника \(ABC\). Периметр \(P = AB + BC + AC\). \[ P = 10 + 10 + 12 \] \[ P = 32 \] Ответ: Периметр треугольника \(ABC\) равен 32.