Задача:
Реши задачу, исходя из данных рисунка.
Дано:
- Прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \((ABC)\).
- Точка \(B\) лежит на прямой \(a\).
- Точка \(D\) лежит на прямой \(a\).
- \(DN = 3\).
- \(BC = 4\).
- Точка \(N\) является серединой отрезка \(AC\). (Это следует из обозначений на рисунке: отрезки \(AN\) и \(NC\) отмечены одинаковыми штрихами, что означает их равенство).
- Угол \(ABC\) прямой (обозначен квадратиком).
Найти: \(DB\).
Решение:
1. Рассмотрим треугольник \(ABC\).
По условию, угол \(ABC\) прямой, то есть \(\angle ABC = 90^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABC\) является прямоугольным.
2. Точка \(N\) — середина гипотенузы \(AC\) в прямоугольном треугольнике \(ABC\).
Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине этой гипотенузы. Также, медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной окружности. В данном случае, \(BN\) — медиана к гипотенузе \(AC\).
По свойству медианы в прямоугольном треугольнике:
\[BN = AN = NC = \frac{1}{2} AC\]3. Рассмотрим треугольник \(DBC\).
По условию, прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \((ABC)\). Так как точки \(D\) и \(B\) лежат на прямой \(a\), то отрезок \(DB\) также перпендикулярен плоскости \((ABC)\).
Если отрезок \(DB\) перпендикулярен плоскости \((ABC)\), то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \(B\).
Следовательно, \(DB \perp BC\).
Таким образом, треугольник \(DBC\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\).
4. Рассмотрим треугольник \(DBN\).
Так как \(DB \perp\) плоскости \((ABC)\), то \(DB \perp BN\), потому что \(BN\) лежит в плоскости \((ABC)\).
Следовательно, треугольник \(DBN\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\).
5. Применим теорему Пифагора к треугольнику \(DBN\).
В прямоугольном треугольнике \(DBN\), гипотенуза — это \(DN\), а катеты — \(DB\) и \(BN\).
\[DN^2 = DB^2 + BN^2\]Нам дано \(DN = 3\). Нужно найти \(DB\). Для этого нам необходимо найти \(BN\).
6. Найдем \(BN\).
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике \(ABC\), медиана \(BN\) равна половине гипотенузы \(AC\).
Также, в прямоугольном треугольнике \(ABC\), по теореме Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]Нам дано \(BC = 4\). Однако, \(AB\) неизвестно. Это означает, что мы не можем напрямую найти \(AC\) и, следовательно, \(BN\) из треугольника \(ABC\).
7. Перечитаем условие и посмотрим на рисунок внимательнее.
На рисунке есть обозначения, которые указывают на равенство отрезков \(AN\) и \(NC\). Это подтверждает, что \(N\) — середина \(AC\).
Также на рисунке есть обозначения, которые указывают на равенство отрезков \(AB\) и \(BC\). Это обозначение в виде двух штрихов на \(AB\) и двух штрихов на \(BC\). Это означает, что \(AB = BC\).
Если \(AB = BC\), то треугольник \(ABC\) является равнобедренным прямоугольным треугольником.
8. Найдем \(BN\) в равнобедренном прямоугольном треугольнике \(ABC\).
Если \(AB = BC = 4\), то по теореме Пифагора для треугольника \(ABC\):
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = 4^2 + 4^2\] \[AC^2 = 16 + 16\] \[AC^2 = 32\] \[AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\]Теперь найдем медиану \(BN\):
\[BN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\]9. Теперь вернемся к треугольнику \(DBN\).
Мы знаем, что \(DN = 3\) и \(BN = 2\sqrt{2}\).
По теореме Пифагора для треугольника \(DBN\):
\[DN^2 = DB^2 + BN^2\] \[3^2 = DB^2 + (2\sqrt{2})^2\] \[9 = DB^2 + (4 \cdot 2)\] \[9 = DB^2 + 8\] \[DB^2 = 9 - 8\] \[DB^2 = 1\] \[DB = \sqrt{1}\] \[DB = 1\]Ответ:
1