ДЗ от 16.12. Решить оба варианта, в каждом вычислить модули векторов a, b, m и n.
Самостоятельная работа по геометрии «Координаты векторов»
Вариант 1.
Даны векторы \(\vec{a}\{2; -3\}\), \(\vec{b}\{-1; 1\}\).
1. Найдите координаты векторов: \(\vec{m} = -5\vec{a}\); \(\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}\).
2. Запишите разложение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) по координатам векторов \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\).
Решение Варианта 1:
Дано: \(\vec{a}\{2; -3\}\), \(\vec{b}\{-1; 1\}\).
1. Находим координаты векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):
Для вектора \(\vec{m} = -5\vec{a}\):
\(\vec{m} = -5 \cdot \{2; -3\} = \{-5 \cdot 2; -5 \cdot (-3)\} = \{-10; 15\}\).
Координаты вектора \(\vec{m}\) равны \(\{-10; 15\}\).
Для вектора \(\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}\):
Сначала найдем \(2\vec{b}\):
\(2\vec{b} = 2 \cdot \{-1; 1\} = \{2 \cdot (-1); 2 \cdot 1\} = \{-2; 2\}\).
Теперь найдем \(\vec{n}\):
\(\vec{n} = \{2; -3\} - \{-2; 2\} = \{2 - (-2); -3 - 2\} = \{2 + 2; -5\} = \{4; -5\}\).
Координаты вектора \(\vec{n}\) равны \(\{4; -5\}\).
2. Записываем разложение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) по координатам векторов \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\):
Для вектора \(\vec{m}\{-10; 15\}\):
\(\vec{m} = -10\vec{i} + 15\vec{j}\).
Для вектора \(\vec{n}\{4; -5\}\):
\(\vec{n} = 4\vec{i} - 5\vec{j}\).
3. Вычисляем модули векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):
Модуль вектора \(\vec{a}\{x; y\}\) вычисляется по формуле: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Для \(\vec{a}\{2; -3\}\):
\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\).
Для \(\vec{b}\{-1; 1\}\):
\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).
Для \(\vec{m}\{-10; 15\}\):
\(|\vec{m}| = \sqrt{(-10)^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325}\).
Можно упростить: \(\sqrt{325} = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13}\).
Для \(\vec{n}\{4; -5\}\):
\(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\).
Ответы для Варианта 1:
Координаты векторов: \(\vec{m}\{-10; 15\}\), \(\vec{n}\{4; -5\}\).
Разложение векторов: \(\vec{m} = -10\vec{i} + 15\vec{j}\), \(\vec{n} = 4\vec{i} - 5\vec{j}\).
Модули векторов: \(|\vec{a}| = \sqrt{13}\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{m}| = 5\sqrt{13}\), \(|\vec{n}| = \sqrt{41}\).
Самостоятельная работа по геометрии «Координаты векторов»
Вариант 2.
Даны векторы \(\vec{a}\{3; 1\}\), \(\vec{b}\{3; -1\}\).
1. Найдите координаты векторов: \(\vec{m} = -\vec{a}\); \(\vec{n} = 3\vec{a} - \vec{b}\).
2. Запишите разложение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) по координатам векторов \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\).
Решение Варианта 2:
Дано: \(\vec{a}\{3; 1\}\), \(\vec{b}\{3; -1\}\).
1. Находим координаты векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):
Для вектора \(\vec{m} = -\vec{a}\):
\(\vec{m} = -1 \cdot \{3; 1\} = \{-1 \cdot 3; -1 \cdot 1\} = \{-3; -1\}\).
Координаты вектора \(\vec{m}\) равны \(\{-3; -1\}\).
Для вектора \(\vec{n} = 3\vec{a} - \vec{b}\):
Сначала найдем \(3\vec{a}\):
\(3\vec{a} = 3 \cdot \{3; 1\} = \{3 \cdot 3; 3 \cdot 1\} = \{9; 3\}\).
Теперь найдем \(\vec{n}\):
\(\vec{n} = \{9; 3\} - \{3; -1\} = \{9 - 3; 3 - (-1)\} = \{6; 3 + 1\} = \{6; 4\}\).
Координаты вектора \(\vec{n}\) равны \(\{6; 4\}\).
2. Записываем разложение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) по координатам векторов \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\):
Для вектора \(\vec{m}\{-3; -1\}\):
\(\vec{m} = -3\vec{i} - 1\vec{j}\) или \(\vec{m} = -3\vec{i} - \vec{j}\).
Для вектора \(\vec{n}\{6; 4\}\):
\(\vec{n} = 6\vec{i} + 4\vec{j}\).
3. Вычисляем модули векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):
Модуль вектора \(\vec{a}\{x; y\}\) вычисляется по формуле: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Для \(\vec{a}\{3; 1\}\):
\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).
Для \(\vec{b}\{3; -1\}\):
\(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).
Для \(\vec{m}\{-3; -1\}\):
\(|\vec{m}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).
Для \(\vec{n}\{6; 4\}\):
\(|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\).
Можно упростить: \(\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}\).
Ответы для Варианта 2:
Координаты векторов: \(\vec{m}\{-3; -1\}\), \(\vec{n}\{6; 4\}\).
Разложение векторов: \(\vec{m} = -3\vec{i} - \vec{j}\), \(\vec{n} = 6\vec{i} + 4\vec{j}\).
Модули векторов: \(|\vec{a}| = \sqrt{10}\), \(|\vec{b}| = \sqrt{10}\), \(|\vec{m}| = \sqrt{10}\), \(|\vec{n}| = 2\sqrt{13}\).