Задача:
Даны координаты точек: \(M(0;0)\), \(N(2;3)\), \(K(x;-1)\). Найдите, чему равен \(x\), если известно, что \(\angle MNK = 90^\circ\).
Решение:
Угол \(\angle MNK\) равен \(90^\circ\). Это означает, что векторы \(\vec{NM}\) и \(\vec{NK}\) перпендикулярны. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
1. Найдем координаты вектора \(\vec{NM}\).
Для этого из координат точки \(M\) вычтем координаты точки \(N\):
\[\vec{NM} = (M_x - N_x; M_y - N_y)\] \[\vec{NM} = (0 - 2; 0 - 3)\] \[\vec{NM} = (-2; -3)\]2. Найдем координаты вектора \(\vec{NK}\).
Для этого из координат точки \(K\) вычтем координаты точки \(N\):
\[\vec{NK} = (K_x - N_x; K_y - N_y)\] \[\vec{NK} = (x - 2; -1 - 3)\] \[\vec{NK} = (x - 2; -4)\]3. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{NM}\) и \(\vec{NK}\).
Скалярное произведение векторов \((a_x; a_y)\) и \((b_x; b_y)\) равно \(a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\).
\[\vec{NM} \cdot \vec{NK} = (-2) \cdot (x - 2) + (-3) \cdot (-4)\]4. Приравняем скалярное произведение к нулю, так как векторы перпендикулярны.
\[(-2) \cdot (x - 2) + (-3) \cdot (-4) = 0\]5. Решим полученное уравнение относительно \(x\).
\[-2x + 4 + 12 = 0\] \[-2x + 16 = 0\] \[-2x = -16\] \[x = \frac{-16}{-2}\] \[x = 8\]Ответ:
\(x = 8\)