Задача: Объем пирамиды с ромбом в основании

Задача 4. Основание пирамиды - ромб с острым углом в 30°. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен \(r\). Решение: 1. Обозначим сторону ромба как \(a\). Площадь ромба можно найти по формуле \(S = a^2 \sin(\alpha)\), где \(\alpha\) - острый угол ромба. В нашем случае \(\alpha = 30^\circ\), поэтому \(S = a^2 \sin(30^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2}\). 2. Радиус вписанного в ромб круга \(r\) связан со стороной ромба и его высотой \(h_{ромба}\) следующим образом: \(h_{ромба} = 2r\). Также высота ромба может быть выражена через сторону и угол: \(h_{ромба} = a \sin(\alpha)\). Значит, \(2r = a \sin(30^\circ)\). \(2r = a \cdot \frac{1}{2}\). Отсюда, \(a = 4r\). 3. Теперь найдем площадь основания пирамиды (площадь ромба): \(S_{осн} = a^2 \sin(30^\circ) = (4r)^2 \cdot \frac{1}{2} = 16r^2 \cdot \frac{1}{2} = 8r^2\). 4. Так как все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (в данном случае \(60^\circ\)), то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды \(H\) связана с радиусом вписанной окружности \(r\) и углом наклона боковых граней \(\beta\) формулой: \(H = r \cdot \tan(\beta)\). В нашем случае \(\beta = 60^\circ\). \(H = r \cdot \tan(60^\circ) = r \cdot \sqrt{3}\). 5. Объем пирамиды \(V\) вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} H\). Подставим найденные значения \(S_{осн}\) и \(H\): \(V = \frac{1}{3} \cdot (8r^2) \cdot (r\sqrt{3})\). \(V = \frac{8\sqrt{3}}{3} r^3\). Ответ: Объем пирамиды равен \(\frac{8\sqrt{3}}{3} r^3\).