2. Упростите выражение:
\[ \frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x} \]
Решение:
Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
\[ x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3) \]
Теперь перепишем исходное выражение с разложенным знаменателем:
\[ \frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} - \frac{2}{x} \]
Найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Общий знаменатель будет произведением всех уникальных множителей, входящих в знаменатели дробей:
Общий знаменатель: \(x(x-3)(x+3)\)
Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:
Первая дробь: \(\frac{3}{x-3}\). Дополнительный множитель \(x(x+3)\).
\[ \frac{3 \cdot x(x+3)}{(x-3) \cdot x(x+3)} = \frac{3x(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x^2 + 9x}{x(x-3)(x+3)} \]
Вторая дробь: \(\frac{x+15}{(x-3)(x+3)}\). Дополнительный множитель \(x\).
\[ \frac{(x+15) \cdot x}{(x-3)(x+3) \cdot x} = \frac{x^2 + 15x}{x(x-3)(x+3)} \]
Третья дробь: \(\frac{2}{x}\). Дополнительный множитель \((x-3)(x+3)\).
\[ \frac{2 \cdot (x-3)(x+3)}{x \cdot (x-3)(x+3)} = \frac{2(x^2 - 9)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2 - 18}{x(x-3)(x+3)} \]
Теперь подставим эти приведенные дроби обратно в выражение и выполним вычитание:
\[ \frac{3x^2 + 9x}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x^2 + 15x}{x(x-3)(x+3)} - \frac{2x^2 - 18}{x(x-3)(x+3)} \]
Объединим числители под общим знаменателем, помня о знаках перед дробями:
\[ \frac{(3x^2 + 9x) - (x^2 + 15x) - (2x^2 - 18)}{x(x-3)(x+3)} \]
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки там, где перед скобкой стоит минус:
\[ \frac{3x^2 + 9x - x^2 - 15x - 2x^2 + 18}{x(x-3)(x+3)} \]
Приведем подобные слагаемые в числителе:
Слагаемые с \(x^2\): \(3x^2 - x^2 - 2x^2 = (3-1-2)x^2 = 0x^2 = 0\)
Слагаемые с \(x\): \(9x - 15x = (9-15)x = -6x\)
Свободные члены: \(+18\)
Таким образом, числитель упрощается до \(-6x + 18\).
\[ \frac{-6x + 18}{x(x-3)(x+3)} \]
Вынесем общий множитель \(-6\) из числителя:
\[ \frac{-6(x - 3)}{x(x-3)(x+3)} \]
Теперь мы можем сократить множитель \((x-3)\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(x \neq 3\). Также \(x \neq 0\) и \(x \neq -3\), так как эти значения обращают знаменатель в ноль.
\[ \frac{-6}{x(x+3)} \]
Ответ:
\[ \frac{-6}{x(x+3)} \]