Задача:
Решите систему уравнений:
\[\begin{cases} \frac{1}{xy} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{2} \\ x^2y + xy^2 = -2 \end{cases}\]Решение:
Рассмотрим второе уравнение системы:
\[x^2y + xy^2 = -2\]Вынесем общий множитель \(xy\) за скобки:
\[xy(x + y) = -2\]Теперь введем замены для упрощения системы. Пусть:
\[a = xy\] \[b = x + y\]Тогда второе уравнение примет вид:
\[ab = -2\]Теперь преобразуем первое уравнение системы. Приведем дроби к общему знаменателю:
\[\frac{1}{xy} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{2}\] \[\frac{x+y + xy}{xy(x+y)} = \frac{1}{2}\]Подставим наши замены \(a\) и \(b\) в это уравнение:
\[\frac{b + a}{ab} = \frac{1}{2}\]Теперь у нас есть новая система уравнений относительно \(a\) и \(b\):
\[\begin{cases} \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{2} \\ ab = -2 \end{cases}\]Подставим значение \(ab = -2\) из второго уравнения в первое:
\[\frac{a+b}{-2} = \frac{1}{2}\]Умножим обе части уравнения на \(-2\):
\[a+b = \frac{1}{2} \cdot (-2)\] \[a+b = -1\]Теперь у нас есть система для \(a\) и \(b\):
\[\begin{cases} a+b = -1 \\ ab = -2 \end{cases}\]Эту систему можно решить, используя теорему Виета. \(a\) и \(b\) являются корнями квадратного уравнения \(t^2 - (a+b)t + ab = 0\).
Подставим значения \(a+b = -1\) и \(ab = -2\):
\[t^2 - (-1)t + (-2) = 0\] \[t^2 + t - 2 = 0\]Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3\]Найдем корни \(t_1\) и \(t_2\):
\[t_1 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[t_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]Таким образом, у нас есть два возможных случая для \(a\) и \(b\):
Случай 1:
\[\begin{cases} a = -2 \\ b = 1 \end{cases}\]Возвращаемся к исходным переменным \(x\) и \(y\):
\[\begin{cases} xy = -2 \\ x+y = 1 \end{cases}\]Из второго уравнения выразим \(y\): \(y = 1 - x\).
Подставим это в первое уравнение:
\[x(1 - x) = -2\] \[x - x^2 = -2\] \[-x^2 + x + 2 = 0\]Умножим на \(-1\):
\[x^2 - x - 2 = 0\]Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[\sqrt{D} = 3\]Корни \(x_1\) и \(x_2\):
\[x_1 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\]Для \(x_1 = -1\):
\[y_1 = 1 - x_1 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2\]Получаем пару решений: \((-1; 2)\).
Для \(x_2 = 2\):
\[y_2 = 1 - x_2 = 1 - 2 = -1\]Получаем пару решений: \((2; -1)\).
Случай 2:
\[\begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases}\]Возвращаемся к исходным переменным \(x\) и \(y\):
\[\begin{cases} xy = 1 \\ x+y = -2 \end{cases}\]Из второго уравнения выразим \(y\): \(y = -2 - x\).
Подставим это в первое уравнение:
\[x(-2 - x) = 1\] \[-2x - x^2 = 1\] \[-x^2 - 2x - 1 = 0\]Умножим на \(-1\):
\[x^2 + 2x + 1 = 0\]Это уравнение является полным квадратом: \((x+1)^2 = 0\).
Отсюда \(x = -1\).
Для \(x = -1\):
\[y = -2 - x = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1\]Получаем пару решений: \((-1; -1)\).
Проверка:
Проверим, что \(xy \neq 0\) и \(x+y \neq 0\) для всех найденных решений, так как эти выражения находятся в знаменателях исходной системы.
1. Для \((-1; 2)\): \(xy = -2 \neq 0\), \(x+y = 1 \neq 0\). Подходит.
2. Для \((2; -1)\): \(xy = -2 \neq 0\), \(x+y = 1 \neq 0\). Подходит.
3. Для \((-1; -1)\): \(xy = 1 \neq 0\), \(x+y = -2 \neq 0\). Подходит.
Ответы на вопросы:
Введите все значения \(x\), которые у вас получились:
Значения \(x\), которые у нас получились, это \(-1\) (из первого случая и из второго случая) и \(2\) (из первого случая).
Таким образом, уникальные значения \(x\) это \(-1\) и \(2\).
Сколько всего пар решений у вас получилось?
У нас получилось 3 пары решений:
1. \((-1; 2)\)
2. \((2; -1)\)
3. \((-1; -1)\)
Всего 3 пары решений.