Решение: Найдите значение выражения (5b+3)/(b^2-16) - (6b-1)/(b^2-16)

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. Задание 2. Найдите значение выражения: 1) \[ \frac{5b+3}{b^2-16} - \frac{6b-1}{b^2-16} \] при \( b=4,1 \); \( b=-3 \) Сначала упростим выражение: Так как знаменатели одинаковые, мы можем вычесть числители: \[ \frac{5b+3}{b^2-16} - \frac{6b-1}{b^2-16} = \frac{(5b+3) - (6b-1)}{b^2-16} \] Раскроем скобки в числителе, помня, что минус перед скобкой меняет знаки: \[ \frac{5b+3-6b+1}{b^2-16} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{(5b-6b) + (3+1)}{b^2-16} = \frac{-b+4}{b^2-16} \] Заметим, что \( b^2-16 \) это разность квадратов, которую можно разложить как \( (b-4)(b+4) \). Также в числителе \( -b+4 \) можно записать как \( -(b-4) \). Тогда выражение примет вид: \[ \frac{-(b-4)}{(b-4)(b+4)} \] Сократим \( (b-4) \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( b \neq 4 \)): \[ \frac{-1}{b+4} \] Теперь подставим значения \( b \): а) Если \( b=4,1 \): \[ \frac{-1}{4,1+4} = \frac{-1}{8,1} \] Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10: \[ \frac{-1 \cdot 10}{8,1 \cdot 10} = \frac{-10}{81} \] б) Если \( b=-3 \): \[ \frac{-1}{-3+4} = \frac{-1}{1} = -1 \] Ответ: 1) При \( b=4,1 \) значение выражения равно \( -\frac{10}{81} \). При \( b=-3 \) значение выражения равно \( -1 \). 2) \[ \frac{2a-3}{1-a^2} + \frac{2-a}{a^2-1} \] при \( a=4 \) Сначала упростим выражение. Заметим, что \( 1-a^2 = -(a^2-1) \). Тогда первое слагаемое можно переписать как: \[ \frac{2a-3}{-(a^2-1)} = -\frac{2a-3}{a^2-1} \] Теперь выражение выглядит так: \[ -\frac{2a-3}{a^2-1} + \frac{2-a}{a^2-1} \] Так как знаменатели одинаковые, мы можем сложить числители: \[ \frac{-(2a-3) + (2-a)}{a^2-1} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{-2a+3+2-a}{a^2-1} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{(-2a-a) + (3+2)}{a^2-1} = \frac{-3a+5}{a^2-1} \] Заметим, что \( a^2-1 \) это разность квадратов, которую можно разложить как \( (a-1)(a+1) \). Числитель \( -3a+5 \) не раскладывается на множители, которые можно было бы сократить со знаменателем. Теперь подставим значение \( a=4 \): \[ \frac{-3 \cdot 4 + 5}{4^2-1} = \frac{-12+5}{16-1} = \frac{-7}{15} \] Ответ: 2) При \( a=4 \) значение выражения равно \( -\frac{7}{15} \). Задание 3. Упростите выражение: а) \[ \frac{x+2}{x-2} - \frac{x}{x-2} \] Так как знаменатели одинаковые, вычтем числители: \[ \frac{(x+2)-x}{x-2} = \frac{x+2-x}{x-2} = \frac{2}{x-2} \] б) \[ \frac{4b-7c}{3b-2c} - \frac{2b-3c}{3b-2c} \] Так как знаменатели одинаковые, вычтем числители: \[ \frac{(4b-7c)-(2b-3c)}{3b-2c} = \frac{4b-7c-2b+3c}{3b-2c} \] Приведем подобные слагаемые: \[ \frac{(4b-2b)+(-7c+3c)}{3b-2c} = \frac{2b-4c}{3b-2c} \] В числителе можно вынести 2 за скобки: \[ \frac{2(b-2c)}{3b-2c} \] в) \[ \frac{a^2}{3a-18} + \frac{3b}{18-3a} \] Заметим, что \( 18-3a = -(3a-18) \). Тогда второе слагаемое можно переписать как: \[ \frac{3b}{-(3a-18)} = -\frac{3b}{3a-18} \] Теперь выражение выглядит так: \[ \frac{a^2}{3a-18} - \frac{3b}{3a-18} \] Так как знаменатели одинаковые, вычтем числители: \[ \frac{a^2-3b}{3a-18} \] В знаменателе можно вынести 3 за скобки: \[ \frac{a^2-3b}{3(a-6)} \] Задание 4. Упростите выражение: а) \[ \frac{6b-5}{b^2-9} + \frac{2b+9}{b^2-9} \] Так как знаменатели одинаковые, сложим числители: \[ \frac{(6b-5)+(2b+9)}{b^2-9} = \frac{6b-5+2b+9}{b^2-9} \] Приведем подобные слагаемые: \[ \frac{(6b+2b)+(-5+9)}{b^2-9} = \frac{8b+4}{b^2-9} \] В числителе можно вынести 4 за скобки: \[ \frac{4(2b+1)}{b^2-9} \] Заметим, что \( b^2-9 \) это разность квадратов, которую можно разложить как \( (b-3)(b+3) \). \[ \frac{4(2b+1)}{(b-3)(b+3)} \] б) \[ \frac{c^3}{8-c^3} - \frac{5c-1}{8-c^3} - \frac{3-3c}{8-c^3} \] Так как знаменатели одинаковые, выполним вычитание числителей: \[ \frac{c^3 - (5c-1) - (3-3c)}{8-c^3} \] Раскроем скобки в числителе, помня, что минус перед скобкой меняет знаки: \[ \frac{c^3 - 5c + 1 - 3 + 3c}{8-c^3} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{c^3 + (-5c+3c) + (1-3)}{8-c^3} = \frac{c^3 - 2c - 2}{8-c^3} \] Заметим, что \( 8-c^3 \) это разность кубов, которую можно разложить как \( (2-c)(4+2c+c^2) \). Числитель \( c^3 - 2c - 2 \) не раскладывается на множители, которые можно было бы сократить со знаменателем. Надеюсь, это решение будет удобно переписать в тетрадь!