Задача:
Дана система уравнений:
\[\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x^2 + 2 \end{cases}\]С помощью графиков установите соответствие:
Координаты точки не являются решением ни одного уравнения.
Координаты точки являются решением системы.
Координаты точки является решением одного уравнения.
Предложенные точки: \((0;2)\), \((-4;0)\), \((1;1)\).
Решение:
Для каждой точки проверим, является ли она решением первого уравнения \(y = \sqrt{x}\) и второго уравнения \(y = -x^2 + 2\).
1. Проверим точку \((0;2)\):
Подставим \(x=0\) и \(y=2\) в первое уравнение:
\[2 = \sqrt{0}\] \[2 = 0\]Это неверно. Значит, точка \((0;2)\) не является решением первого уравнения.
Подставим \(x=0\) и \(y=2\) во второе уравнение:
\[2 = -(0)^2 + 2\] \[2 = 0 + 2\] \[2 = 2\]Это верно. Значит, точка \((0;2)\) является решением второго уравнения.
Вывод для \((0;2)\): Точка является решением одного уравнения (второго).
2. Проверим точку \((-4;0)\):
Подставим \(x=-4\) и \(y=0\) в первое уравнение:
\[0 = \sqrt{-4}\]Корень из отрицательного числа не определен в действительных числах. Значит, точка \((-4;0)\) не является решением первого уравнения.
Подставим \(x=-4\) и \(y=0\) во второе уравнение:
\[0 = -(-4)^2 + 2\] \[0 = -(16) + 2\] \[0 = -16 + 2\] \[0 = -14\]Это неверно. Значит, точка \((-4;0)\) не является решением второго уравнения.
Вывод для \((-4;0)\): Точка не является решением ни одного уравнения.
3. Проверим точку \((1;1)\):
Подставим \(x=1\) и \(y=1\) в первое уравнение:
\[1 = \sqrt{1}\] \[1 = 1\]Это верно. Значит, точка \((1;1)\) является решением первого уравнения.
Подставим \(x=1\) и \(y=1\) во второе уравнение:
\[1 = -(1)^2 + 2\] \[1 = -1 + 2\] \[1 = 1\]Это верно. Значит, точка \((1;1)\) является решением второго уравнения.
Если точка является решением обоих уравнений системы, то она является решением системы.
Вывод для \((1;1)\): Точка является решением системы.
Установление соответствия:
Координаты точки не являются решением ни одного уравнения: \((-4;0)\)
Координаты точки являются решением системы: \((1;1)\)
Координаты точки является решением одного уравнения: \((0;2)\)