Задача:
Решите систему уравнений:
\[\begin{cases} 2x^2 + 3y - xy = 0 \\ x^2 - y - 3xy = 0 \end{cases}\]В ответ запишите наименьшее полученное значение \(x\).
Решение:
Перепишем систему уравнений:
(1) \(2x^2 + 3y - xy = 0\)
(2) \(x^2 - y - 3xy = 0\)
Из уравнения (1) выразим \(3y\):
\[3y = xy - 2x^2\]Из уравнения (2) выразим \(y\):
\[y = x^2 - 3xy\]Подставим выражение для \(y\) из второго уравнения в первое уравнение. Но сначала умножим второе уравнение на 3, чтобы получить \(3y\):
\[3y = 3(x^2 - 3xy)\] \[3y = 3x^2 - 9xy\]Теперь приравняем два выражения для \(3y\):
\[xy - 2x^2 = 3x^2 - 9xy\]Перенесем все члены в одну сторону:
\[xy - 2x^2 - 3x^2 + 9xy = 0\] \[10xy - 5x^2 = 0\]Вынесем общий множитель \(5x\) за скобки:
\[5x(2y - x) = 0\]Из этого уравнения следует, что либо \(5x = 0\), либо \(2y - x = 0\).
Случай 1: \(5x = 0\)
Если \(5x = 0\), то \(x = 0\).
Подставим \(x = 0\) в одно из исходных уравнений, например, во второе:
\[0^2 - y - 3 \cdot 0 \cdot y = 0\] \[0 - y - 0 = 0\] \[-y = 0\] \[y = 0\]Таким образом, одно из решений системы: \((0; 0)\).
Случай 2: \(2y - x = 0\)
Из этого уравнения выразим \(x\):
\[x = 2y\]Теперь подставим \(x = 2y\) в одно из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение:
\[x^2 - y - 3xy = 0\] \[(2y)^2 - y - 3(2y)y = 0\] \[4y^2 - y - 6y^2 = 0\] \[-2y^2 - y = 0\]Вынесем \( -y \) за скобки:
\[-y(2y + 1) = 0\]Из этого уравнения следует, что либо \(-y = 0\), либо \(2y + 1 = 0\).
Подслучай 2.1: \(-y = 0\)
Если \(-y = 0\), то \(y = 0\).
Тогда \(x = 2y = 2 \cdot 0 = 0\).
Это решение \((0; 0)\), которое мы уже нашли.
Подслучай 2.2: \(2y + 1 = 0\)
Если \(2y + 1 = 0\), то \(2y = -1\), и \(y = -\frac{1}{2}\).
Теперь найдем соответствующее значение \(x\):
\[x = 2y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\]Таким образом, второе решение системы: \(\left(-1; -\frac{1}{2}\right)\).
Соберем все полученные значения \(x\):
Из Случая 1: \(x = 0\)
Из Случая 2.2: \(x = -1\)
Нам нужно найти наименьшее полученное значение \(x\).
Сравниваем \(0\) и \(-1\).
Наименьшее значение \(x\) равно \(-1\).
Ответ:
Наименьшее полученное значение \(x\) равно \(-1\).