Решение системы уравнений: наименьшее значение x

Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 + 3y - xy = 0, \\ x^2 - y - 3xy = 0. \end{cases} \] В ответ запишите наименьшее полученное значение \(x\). Решение: Шаг 1: Выразим \(y\) из второго уравнения. Из второго уравнения \(x^2 - y - 3xy = 0\) можно выразить \(y\): \(x^2 - 3xy = y\) \(y = x^2 - 3xy\) \(y + 3xy = x^2\) \(y(1 + 3x) = x^2\) Если \(1 + 3x \neq 0\), то \(y = \frac{x^2}{1 + 3x}\). Рассмотрим случай, когда \(1 + 3x = 0\), то есть \(x = -\frac{1}{3}\). Подставим \(x = -\frac{1}{3}\) во второе уравнение: \(\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - y - 3\left(-\frac{1}{3}\right)y = 0\) \(\frac{1}{9} - y + y = 0\) \(\frac{1}{9} = 0\) Это неверное равенство, значит, \(x \neq -\frac{1}{3}\), и мы можем использовать выражение для \(y\). Шаг 2: Подставим выражение для \(y\) в первое уравнение. Подставим \(y = \frac{x^2}{1 + 3x}\) в первое уравнение \(2x^2 + 3y - xy = 0\): \(2x^2 + 3\left(\frac{x^2}{1 + 3x}\right) - x\left(\frac{x^2}{1 + 3x}\right) = 0\) \(2x^2 + \frac{3x^2}{1 + 3x} - \frac{x^3}{1 + 3x} = 0\) Шаг 3: Приведем к общему знаменателю и упростим. Умножим все члены на \(1 + 3x\) (мы уже знаем, что \(1 + 3x \neq 0\)): \(2x^2(1 + 3x) + 3x^2 - x^3 = 0\) Раскроем скобки: \(2x^2 + 6x^3 + 3x^2 - x^3 = 0\) Приведем подобные члены: \(5x^3 + 5x^2 = 0\) Шаг 4: Решим полученное кубическое уравнение. Вынесем общий множитель \(5x^2\): \(5x^2(x + 1) = 0\) Это уравнение имеет два возможных решения: 1. \(5x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) 2. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) Шаг 5: Найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\). Случай 1: \(x = 0\) Подставим \(x = 0\) в выражение для \(y\): \(y = \frac{0^2}{1 + 3(0)} = \frac{0}{1} = 0\) Таким образом, одно решение системы: \((x, y) = (0, 0)\). Случай 2: \(x = -1\) Подставим \(x = -1\) в выражение для \(y\): \(y = \frac{(-1)^2}{1 + 3(-1)} = \frac{1}{1 - 3} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\) Таким образом, второе решение системы: \((x, y) = \left(-1, -\frac{1}{2}\right)\). Шаг 6: Определим наименьшее значение \(x\). У нас есть два значения \(x\): \(0\) и \(-1\). Наименьшее из них: \(-1\). Ответ: Наименьшее полученное значение \(x\) равно \(-1\). Для записи в тетрадь: Решение: Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 + 3y - xy = 0 \quad (1) \\ x^2 - y - 3xy = 0 \quad (2) \end{cases} \] 1. Выразим \(y\) из уравнения (2): \(x^2 - y - 3xy = 0\) \(x^2 = y + 3xy\) \(x^2 = y(1 + 3x)\) Если \(1 + 3x = 0\), то \(x = -\frac{1}{3}\). Подставим это значение в (2): \(\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - y - 3\left(-\frac{1}{3}\right)y = 0\) \(\frac{1}{9} - y + y = 0\) \(\frac{1}{9} = 0\), что неверно. Значит, \(1 + 3x \neq 0\), и мы можем разделить на \(1 + 3x\): \(y = \frac{x^2}{1 + 3x} \quad (3)\) 2. Подставим выражение для \(y\) из (3) в уравнение (1): \(2x^2 + 3\left(\frac{x^2}{1 + 3x}\right) - x\left(\frac{x^2}{1 + 3x}\right) = 0\) \(2x^2 + \frac{3x^2}{1 + 3x} - \frac{x^3}{1 + 3x} = 0\) 3. Умножим все члены на \(1 + 3x\) (так как \(1 + 3x \neq 0\)): \(2x^2(1 + 3x) + 3x^2 - x^3 = 0\) Раскроем скобки: \(2x^2 + 6x^3 + 3x^2 - x^3 = 0\) Приведем подобные члены: \(5x^3 + 5x^2 = 0\) 4. Решим полученное уравнение: Вынесем общий множитель \(5x^2\): \(5x^2(x + 1) = 0\) Это уравнение имеет два решения: а) \(5x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) б) \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) 5. Найдем соответствующие значения \(y\): а) Если \(x = 0\), подставим в (3): \(y = \frac{0^2}{1 + 3(0)} = \frac{0}{1} = 0\) Одно решение: \((x, y) = (0, 0)\). б) Если \(x = -1\), подставим в (3): \(y = \frac{(-1)^2}{1 + 3(-1)} = \frac{1}{1 - 3} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\) Второе решение: \((x, y) = \left(-1, -\frac{1}{2}\right)\). 6. Сравним полученные значения \(x\): У нас есть \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -1\). Наименьшее из этих значений: \(-1\). Ответ: \(-1\)