Условие задания:
Выбери преобразования, которые не являются равносильными:
Варианты ответов:
- умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число
- перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками
- деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число
- возведение обеих частей уравнения в квадрат
- освобождение дроби от знаменателя, содержащего переменную \(x\)
- \( - (4x - 9) = 4x - 9 \)
Решение:
Равносильные преобразования — это такие преобразования уравнения, которые не изменяют множество его корней. То есть, если \(x_0\) является корнем исходного уравнения, то он будет корнем и преобразованного уравнения, и наоборот.
Давайте рассмотрим каждое преобразование:
1. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Это равносильное преобразование. Если \(A = B\), то \(A \cdot C = B \cdot C\) при \(C \neq 0\). Множество корней не меняется.
2. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
Это равносильное преобразование. Например, из \(A + C = B\) следует \(A = B - C\). Множество корней не меняется.
3. Деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Это равносильное преобразование. Если \(A = B\), то \(A / C = B / C\) при \(C \neq 0\). Множество корней не меняется.
4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Это неравносильное преобразование. При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни. Например, уравнение \(x = 2\) имеет один корень \(x = 2\). Если возвести обе части в квадрат, получим \(x^2 = 4\), что имеет корни \(x = 2\) и \(x = -2\). Корень \(x = -2\) является посторонним для исходного уравнения. Также, если исходное уравнение имеет отрицательные части, например \(x = -2\), то \(x^2 = 4\) даст \(x = 2\) и \(x = -2\), где \(x = 2\) будет посторонним корнем.
5. Освобождение дроби от знаменателя, содержащего переменную \(x\).
Это неравносильное преобразование. При умножении обеих частей уравнения на знаменатель, содержащий переменную \(x\), могут появиться посторонние корни, если знаменатель обращается в ноль при некоторых значениях \(x\). Например, уравнение \(\frac{x-1}{x-1} = 1\) имеет смысл при \(x \neq 1\). Если умножить на \((x-1)\), получим \(x-1 = x-1\), что верно для любого \(x\). Но \(x=1\) не является корнем исходного уравнения. Чтобы преобразование было равносильным, необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) переменной, то есть исключать значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю.
6. \( - (4x - 9) = 4x - 9 \)
Это не преобразование, а само уравнение. Если это подразумевается как "преобразование, которое приводит к этому уравнению", то нужно понять, что это за уравнение. Раскроем скобки: \(-4x + 9 = 4x - 9\). Перенесем члены: \(9 + 9 = 4x + 4x\). \(18 = 8x\). \(x = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\). Это уравнение имеет единственный корень. Если же вопрос подразумевает, является ли переход от какого-то уравнения к этому уравнению равносильным, то это зависит от исходного уравнения. Но если это просто утверждение, то оно не является преобразованием в общем смысле. Однако, если рассмотреть это как "равносильно ли это уравнение самому себе", то да. Но если это пример преобразования, то оно не является универсальным. Чаще всего, в таких заданиях, если дано конкретное выражение, то подразумевается, что оно само по себе является результатом какого-то преобразования, и нужно оценить его свойства. Если же это вопрос о том, является ли это выражение равносильным какому-то другому, то это не указано. Предположим, что это пример уравнения, которое может быть получено в результате преобразования. Если же это вопрос о том, является ли это выражение равносильным преобразованием, то это не преобразование, а уравнение. Если же это вопрос о том, является ли это уравнение тождеством, то нет, оно имеет конкретный корень. В контексте "преобразования, которые не являются равносильными", это пункт, который может быть интерпретирован как "является ли это выражение результатом неравносильного преобразования". Однако, если рассмотреть его как "является ли это преобразование равносильным", то это не преобразование. Давайте перечитаем вопрос: "Выбери преобразования, которые не являются равносильными". Последний пункт не является преобразованием, это уравнение. Поэтому его нельзя отнести к равносильным или неравносильным преобразованиям. Возможно, это "отвлекающий" вариант или некорректно сформулированный. Но если его интерпретировать как "является ли это уравнение результатом неравносильного преобразования", то это не очевидно. Если же это просто пример уравнения, то оно не относится к списку преобразований. В школьной программе, когда говорят о равносильных преобразованиях, имеют в виду действия, которые можно выполнять с обеими частями уравнения. Поэтому, скорее всего, этот пункт не является преобразованием в том смысле, в котором рассматриваются остальные пункты.
Исходя из стандартных определений равносильных преобразований в математике, к неравносильным относятся:
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат (или любую четную степень).
- Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, которое может быть равно нулю.
- Извлечение корня четной степени из обеих частей уравнения.
Таким образом, к неравносильным преобразованиям относятся:
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
- Освобождение дроби от знаменателя, содержащего переменную \(x\). (Это подразумевает умножение на знаменатель, который может быть равен нулю, что может привести к появлению посторонних корней).
Последний пункт \( - (4x - 9) = 4x - 9 \) не является преобразованием, а является уравнением. Поэтому его нельзя выбрать как "неравносильное преобразование".
Ответ:
- возведение обеих частей уравнения в квадрат
- освобождение дроби от знаменателя, содержащего переменную \(x\)