Условие задания:
При каком значении параметра \(c\) система уравнений
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y - x^2 = c \end{cases} \]имеет одно решение?
Ответ: при \(c = \boxed{\phantom{0}}\)
Решение:
Дана система уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \quad (1) \\ y - x^2 = c \quad (2) \end{cases} \]Первое уравнение \(x^2 + y^2 = 1\) описывает окружность с центром в начале координат \((0;0)\) и радиусом \(R=1\).
Из второго уравнения выразим \(x^2\):
\(x^2 = y - c \quad (3)\)
Подставим это выражение для \(x^2\) в первое уравнение:
\((y - c) + y^2 = 1\)
\(y^2 + y - c - 1 = 0\)
Это квадратное уравнение относительно \(y\). Для того чтобы система имела одно решение, это квадратное уравнение должно иметь ровно одно решение для \(y\). Это происходит, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
Общий вид квадратного уравнения: \(Ay^2 + By + C = 0\).
В нашем случае: \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = -c - 1\).
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \(D = B^2 - 4AC\).
Приравняем дискриминант к нулю:
\(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c - 1) = 0\)
\(1 - 4(-c - 1) = 0\)
\(1 + 4c + 4 = 0\)
\(4c + 5 = 0\)
\(4c = -5\)
\(c = -\frac{5}{4}\)
\(c = -1,25\)
Теперь, когда мы нашли значение \(c\), при котором квадратное уравнение для \(y\) имеет одно решение, нужно убедиться, что это решение для \(y\) приводит к допустимым значениям \(x\).
При \(c = -1,25\), уравнение для \(y\) становится:
\(y^2 + y - (-1,25) - 1 = 0\)
\(y^2 + y + 1,25 - 1 = 0\)
\(y^2 + y + 0,25 = 0\)
Это полный квадрат: \((y + 0,5)^2 = 0\).
Отсюда \(y = -0,5\).
Теперь подставим \(y = -0,5\) и \(c = -1,25\) в уравнение \((3)\) для нахождения \(x^2\):
\(x^2 = y - c\)
\(x^2 = -0,5 - (-1,25)\)
\(x^2 = -0,5 + 1,25\)
\(x^2 = 0,75\)
Так как \(x^2 = 0,75 > 0\), то существуют два значения \(x\): \(x = \sqrt{0,75}\) и \(x = -\sqrt{0,75}\). Это означает, что при \(c = -1,25\) мы получаем одно значение \(y\), но два значения \(x\). Следовательно, система имеет два решения \(( \sqrt{0,75}; -0,5 )\) и \(( -\sqrt{0,75}; -0,5 )\).
Это противоречит условию "имеет одно решение". Значит, графический метод или дополнительное условие должно быть учтено.
Рассмотрим графически. Уравнение \(x^2 + y^2 = 1\) — это окружность с центром \((0;0)\) и радиусом \(1\).
Уравнение \(y - x^2 = c\) можно переписать как \(y = x^2 + c\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \((0; c)\).
Система имеет одно решение, когда парабола и окружность касаются друг друга в одной точке.
Парабола \(y = x^2 + c\) имеет вершину на оси \(Oy\). Окружность \(x^2 + y^2 = 1\) пересекает ось \(Oy\) в точках \((0; 1)\) и \((0; -1)\).
Для того чтобы парабола касалась окружности в одной точке, вершина параболы должна быть либо в точке \((0; 1)\), либо парабола должна касаться окружности снизу в точке \((0; -1)\).
Случай 1: Парабола касается окружности сверху. Это произойдет, если вершина параболы совпадает с верхней точкой окружности на оси \(Oy\), то есть \((0; 1)\). В этом случае \(c = 1\). Проверим: если \(c = 1\), то \(y = x^2 + 1\). Подставим \(x^2 = y - 1\) в первое уравнение: \((y - 1) + y^2 = 1\) \(y^2 + y - 2 = 0\) Найдем корни этого квадратного уравнения: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\) \(y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}\) \(y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
Если \(y = 1\), то \(x^2 = y - 1 = 1 - 1 = 0\), откуда \(x = 0\). Получаем решение \((0; 1)\).
Если \(y = -2\), то \(x^2 = y - 1 = -2 - 1 = -3\). Это невозможно, так как \(x^2\) не может быть отрицательным. Значит, \(y = -2\) не дает действительных решений для \(x\).
Таким образом, при \(c = 1\), система имеет одно решение \((0; 1)\).
Случай 2: Парабола касается окружности снизу. Это произойдет, если вершина параболы совпадает с нижней точкой окружности на оси \(Oy\), то есть \((0; -1)\). В этом случае \(c = -1\). Проверим: если \(c = -1\), то \(y = x^2 - 1\). Подставим \(x^2 = y + 1\) в первое уравнение: \((y + 1) + y^2 = 1\) \(y^2 + y = 0\) \(y(y + 1) = 0\) \(y_1 = 0\) \(y_2 = -1\)
Если \(y = 0\), то \(x^2 = y + 1 = 0 + 1 = 1\), откуда \(x = \pm 1\). Получаем два решения: \((1; 0)\) и \((-1; 0)\).
Если \(y = -1\), то \(x^2 = y + 1 = -1 + 1 = 0\), откуда \(x = 0\). Получаем решение \((0; -1)\).
В этом случае, при \(c = -1\), система имеет три решения: \((1; 0)\), \((-1; 0)\) и \((0; -1)\). Это не одно решение.
Возвращаясь к алгебраическому решению, где мы получили \(y^2 + y - c - 1 = 0\). Мы также должны учесть, что \(x^2 = y - c \ge 0\). То есть \(y \ge c\).
При \(c = -1,25\), мы получили \(y = -0,5\). Проверим условие \(y \ge c\): \(-0,5 \ge -1,25\). Это верно.
Но при \(y = -0,5\), \(x^2 = 0,75\), что дает два значения \(x\). Это означает, что парабола \(y = x^2 - 1,25\) пересекает окружность в двух точках. Эти точки имеют координаты \((\pm \sqrt{0,75}; -0,5)\).
Значит, условие "одно решение для \(y\)" не всегда означает "одно решение для системы". Система имеет одно решение, если парабола касается окружности в одной точке, и при этом нет других точек пересечения.
Рассмотрим случай, когда парабола касается окружности. Это происходит, когда \(y = 1\) (вершина параболы в \((0;1)\)) или когда парабола касается окружности в других точках.
Мы уже выяснили, что при \(c=1\), \(y=1\) и \(x=0\), что дает одно решение \((0;1)\).
Рассмотрим случай, когда парабола касается окружности снизу. Это происходит, когда \(y = -1\). Если \(y = -1\), то \(x^2 = y - c = -1 - c\). Подставим \(y = -1\) в уравнение окружности: \(x^2 + (-1)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). Значит, точка касания \((0; -1)\). Для этой точки \((0; -1)\) должно выполняться уравнение параболы: \(-1 = 0^2 + c \Rightarrow c = -1\).
При \(c = -1\), парабола \(y = x^2 - 1\). Мы уже проверили этот случай: \(y^2 + y = 0 \Rightarrow y(y+1) = 0\). \(y_1 = 0\), \(y_2 = -1\). При \(y_1 = 0\), \(x^2 = 0 - (-1) = 1 \Rightarrow x = \pm 1\). Это точки \((1;0)\) и \((-1;0)\). При \(y_2 = -1\), \(x^2 = -1 - (-1) = 0 \Rightarrow x = 0\). Это точка \((0;-1)\).
Таким образом, при \(c = -1\), система имеет три решения. Это не подходит.
Единственный случай, когда система имеет одно решение, это когда парабола касается окружности в верхней точке \((0;1)\).
В этом случае вершина параболы \((0; c)\) должна совпадать с \((0; 1)\), то есть \(c = 1\).
Проверка: Если \(c = 1\), система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y - x^2 = 1 \end{cases} \] Из второго уравнения: \(x^2 = y - 1\). Подставим в первое: \((y - 1) + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 + y - 2 = 0\). Корни: \(y = 1\) и \(y = -2\). Условие \(x^2 = y - 1 \ge 0\) означает \(y \ge 1\). Из двух значений \(y\), только \(y = 1\) удовлетворяет условию \(y \ge 1\). При \(y = 1\), \(x^2 = 1 - 1 = 0 \Rightarrow x = 0\). Таким образом, единственное решение системы: \((0; 1)\).
Ответ:
При \(c = \boxed{\mathbf{1}}\)