Дано:
\(a \parallel b\)
\(AB \in a\)
\(CD \in b\)
\(AD \cap BC = E\)
Доказать:
\(\triangle ABE \sim \triangle DCE\)
Доказательство:
Для того чтобы доказать подобие треугольников \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\), нам нужно показать, что у них есть хотя бы две пары равных углов.
1. Рассмотрим углы \(\angle EAB\) и \(\angle EDC\).
Поскольку прямые \(a\) и \(b\) параллельны (\(a \parallel b\)), а прямая \(AD\) является секущей, то углы \(\angle EAB\) и \(\angle EDC\) являются накрест лежащими углами.
Следовательно, \(\angle EAB = \angle EDC\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(AD\)).
2. Рассмотрим углы \(\angle ABE\) и \(\angle DCE\).
Поскольку прямые \(a\) и \(b\) параллельны (\(a \parallel b\)), а прямая \(BC\) является секущей, то углы \(\angle ABE\) и \(\angle DCE\) являются накрест лежащими углами.
Следовательно, \(\angle ABE = \angle DCE\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(BC\)).
3. Мы нашли две пары равных углов в треугольниках \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\):
\(\angle EAB = \angle EDC\)
\(\angle ABE = \angle DCE\)
По признаку подобия треугольников по двум углам (УУ), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Таким образом, \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\).
Что нужно вписать в пропуск в задании:
1. \(\angle EAB = \angle CED\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(AD\).
(В данном случае, в задании, вероятно, опечатка, и вместо \(\angle CED\) должно быть \(\angle EDC\). Если же имеется в виду \(\angle CED\), то это вертикальный угол к \(\angle AEB\), что не подходит для доказательства подобия по двум углам с \(\angle EAB\). Предполагаем, что имелся в виду угол \(\angle EDC\)).
Если же в задании подразумевается, что нужно использовать вертикальные углы, то это будет так:
\(\angle AEB = \angle DEC\) (как вертикальные углы).
Тогда, используя \(\angle EAB = \angle EDC\) (накрест лежащие) и \(\angle AEB = \angle DEC\) (вертикальные), мы также докажем подобие по двум углам.
Исходя из предоставленного изображения, где в первом пункте написано "углы при пересечении", это может относиться к накрест лежащим углам или вертикальным углам. Однако, для \(\angle EAB\) и \(\angle CED\), если \(\angle CED\) - это угол при вершине \(E\) в \(\triangle DCE\), то они не являются накрест лежащими или вертикальными друг к другу. Скорее всего, в задании подразумевалось \(\angle EAB = \angle EDC\) (накрест лежащие) или \(\angle ABE = \angle DCE\) (накрест лежащие), а также \(\angle AEB = \angle DEC\) (вертикальные).
Если строго следовать записи \(\angle EAB = \angle CED\), то это неверное равенство для доказательства подобия. Предположим, что в задании пропущено слово "накрест лежащие" или "вертикальные".
Наиболее логичным заполнением для первого пункта, чтобы доказать подобие, будет:
1. \(\angle EAB = \angle EDC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(AD\).
Или, если в задании подразумевается использование вертикальных углов:
1. \(\angle AEB = \angle DEC\) как вертикальные углы.
Поскольку в задании уже есть "углы при пересечении", это может быть подсказкой к вертикальным углам. Если так, то первый пункт должен быть:
1. \(\angle AEB = \angle DEC\) как вертикальные углы.
А второй пункт тогда будет:
2. \(\angle EAB = \angle EDC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(AD\).
Или:
2. \(\angle ABE = \angle DCE\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(BC\).
Исходя из того, что в первом пункте уже написано \(\angle EAB = \angle CED\), и далее "углы при пересечении", это может быть попытка указать на накрест лежащие углы, но с ошибкой в обозначении угла. Если же "углы при пересечении" относится к вертикальным углам, то равенство \(\angle EAB = \angle CED\) неверно.
Предположим, что в задании подразумевалось, что \(\angle EAB\) и \(\angle EDC\) - это накрест лежащие углы, а \(\angle AEB\) и \(\angle DEC\) - вертикальные. Тогда для первого пункта, если он должен быть \(\angle EAB = \angle CED\), это неверно. Если же это опечатка и должно быть \(\angle EAB = \angle EDC\), то ответ будет "накрест лежащие".
Давайте заполним пропуск, исходя из наиболее вероятного сценария для доказательства подобия по двум углам, используя накрест лежащие углы.
1. \(\angle EAB = \angle EDC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(AD\).
(Если в задании строго \(\angle EAB = \angle CED\), то это неверное утверждение для доказательства подобия. Возможно, имелось в виду \(\angle EAB = \angle EDC\)).
Если же "углы при пересечении" относится к вертикальным углам, то первый пункт должен быть:
1. \(\angle AEB = \angle DEC\) как вертикальные углы.
В этом случае, в задании допущена ошибка в записи \(\angle EAB = \angle CED\).
Для школьника, чтобы не запутаться, лучше всего использовать стандартные пары углов:
1. \(\angle EAB = \angle EDC\) (накрест лежащие углы при \(a \parallel b\) и секущей \(AD\)).
2. \(\angle ABE = \angle DCE\) (накрест лежащие углы при \(a \parallel b\) и секущей \(BC\)).
Или:
1. \(\angle EAB = \angle EDC\) (накрест лежащие углы при \(a \parallel b\) и секущей \(AD\)).
2. \(\angle AEB = \angle DEC\) (вертикальные углы).
Если мы должны заполнить именно пропуск для \(\angle EAB = \angle CED\), то это равенство неверно. Предположим, что в задании опечатка и вместо \(\angle CED\) должно быть \(\angle EDC\). Тогда:
1. \(\angle EAB = \angle EDC\) как накрест лежащие углы.
(Или, если "углы при пересечении" относится к вертикальным углам, то это не тот угол. Если же это общая фраза, то "накрест лежащие" подходит).
Если же "углы при пересечении" относится к вертикальным углам, то в первом пункте должно быть \(\angle AEB = \angle DEC\). Но написано \(\angle EAB = \angle CED\).
Давайте предположим, что в задании просят указать тип углов для равенства \(\angle EAB = \angle EDC\), а не \(\angle CED\). Тогда ответ:
1. \(\angle EAB = \angle EDC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(AD\).