Дано:
\(a \parallel b\)
\(AB \in a\)
\(CD \in b\)
\(AD \cap BC = E\)
Доказать:
\(\triangle ABE \sim \triangle DCE\)
Доказательство:
1. \(\angle EAB = \angle EDC\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(b\) секущей \(AD\).
(В предыдущем ответе я предполагал, что в задании была опечатка и вместо \(\angle CED\) должно быть \(\angle EDC\). Теперь, видя продолжение фразы "параллельных прямых \(a\), \(b\) секущей \(AD\)", это подтверждает, что речь идет о накрест лежащих углах, и угол \(\angle CED\) в первом пункте является опечаткой, должно быть \(\angle EDC\)).2. \(\angle EBA = \angle ECD\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(b\), секущей \(BC\).
3. \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\) по двум углам признаку подобия треугольника.
Полностью заполненное доказательство для переписывания в тетрадь:
Дано:
\(a \parallel b\)
\(AB \in a\)
\(CD \in b\)
\(AD \cap BC = E\)
Доказать:
\(\triangle ABE \sim \triangle DCE\)
Доказательство:
1. Рассмотрим углы \(\angle EAB\) и \(\angle EDC\).
Поскольку прямые \(a\) и \(b\) параллельны (\(a \parallel b\)), а прямая \(AD\) является секущей, то углы \(\angle EAB\) и \(\angle EDC\) являются накрест лежащими.
Следовательно, \(\angle EAB = \angle EDC\) (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(b\) секущей \(AD\)).
2. Рассмотрим углы \(\angle EBA\) и \(\angle ECD\).
Поскольку прямые \(a\) и \(b\) параллельны (\(a \parallel b\)), а прямая \(BC\) является секущей, то углы \(\angle EBA\) и \(\angle ECD\) являются накрест лежащими.
Следовательно, \(\angle EBA = \angle ECD\) (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(b\) секущей \(BC\)).
3. Мы доказали, что в треугольниках \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\) есть две пары равных углов:
\(\angle EAB = \angle EDC\)
\(\angle EBA = \angle ECD\)
По признаку подобия треугольников по двум углам (УУ), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Таким образом, \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\) по двум углам признаку подобия треугольника.