Решение системы уравнений: x/y + y/x = 34/15 и x^2 + y^2 = 34

Решим систему уравнений. Система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{34}{15} \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} \] Шаг 1: Преобразуем первое уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{x \cdot x}{y \cdot x} + \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{34}{15} \] \[ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{34}{15} \] Шаг 2: Подставим значение \(x^2 + y^2\) из второго уравнения в преобразованное первое уравнение. Из второго уравнения мы знаем, что \(x^2 + y^2 = 34\). Подставим это значение: \[ \frac{34}{xy} = \frac{34}{15} \] Шаг 3: Найдем значение \(xy\). Из уравнения \(\frac{34}{xy} = \frac{34}{15}\) следует, что: \[ xy = 15 \] Шаг 4: Теперь у нас есть новая система уравнений: \[ \begin{cases} xy = 15 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \(y\): \[ y = \frac{15}{x} \] Шаг 5: Подставим выражение для \(y\) во второе уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{15}{x}\right)^2 = 34 \] \[ x^2 + \frac{225}{x^2} = 34 \] Шаг 6: Умножим все члены уравнения на \(x^2\) (при условии, что \(x \neq 0\), что следует из \(xy=15\)): \[ x^4 + 225 = 34x^2 \] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение: \[ x^4 - 34x^2 + 225 = 0 \] Шаг 7: Сделаем замену переменной. Пусть \(t = x^2\). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 34t + 225 = 0 \] Шаг 8: Решим квадратное уравнение относительно \(t\) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\) Здесь \(a=1\), \(b=-34\), \(c=225\). \[ D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 \] \[ D = 1156 - 900 \] \[ D = 256 \] Найдем корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \] Шаг 9: Найдем значения \(t\). Формула для корней квадратного уравнения: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \[ t_1 = \frac{-(-34) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{34 + 16}{2} = \frac{50}{2} = 25 \] \[ t_2 = \frac{-(-34) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{34 - 16}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] Шаг 10: Вернемся к переменной \(x\), используя \(t = x^2\). Случай 1: \(t_1 = 25\) \[ x^2 = 25 \] \[ x = \sqrt{25} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{25} \] \[ x_1 = 5 \] \[ x_2 = -5 \] Случай 2: \(t_2 = 9\) \[ x^2 = 9 \] \[ x = \sqrt{9} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{9} \] \[ x_3 = 3 \] \[ x_4 = -3 \] Шаг 11: Найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\), используя \(y = \frac{15}{x}\). Для \(x_1 = 5\): \[ y_1 = \frac{15}{5} = 3 \] Пара решений: \((5, 3)\) Для \(x_2 = -5\): \[ y_2 = \frac{15}{-5} = -3 \] Пара решений: \((-5, -3)\) Для \(x_3 = 3\): \[ y_3 = \frac{15}{3} = 5 \] Пара решений: \((3, 5)\) Для \(x_4 = -3\): \[ y_4 = \frac{15}{-3} = -5 \] Пара решений: \((-3, -5)\) Все значения \(x\), которые у нас получились: \(5, -5, 3, -3\). Ответ: Все значения \(x\), которые у вас получились: \(5, -5, 3, -3\).