Условие задания:
Реши систему уравнений, используя способ сложения.
(Сначала записывай наименьшие значения.)
\[ \begin{cases} xr + x = 9 \\ xr + r = 8 \end{cases} \]\[ \begin{cases} x_1 = \boxed{\phantom{0}} \\ r_1 = \boxed{\phantom{0}} \end{cases} \quad \begin{cases} x_2 = \boxed{\phantom{0}} \\ r_2 = \boxed{\phantom{0}} \end{cases} \]
Решение:
Дана система уравнений:
\[ \begin{cases} xr + x = 9 \quad (1) \\ xr + r = 8 \quad (2) \end{cases} \]Используем способ сложения (или вычитания) для решения системы.
Вычтем второе уравнение из первого:
\((xr + x) - (xr + r) = 9 - 8\)
\(xr + x - xr - r = 1\)
\(x - r = 1\)
Из этого уравнения выразим \(x\) через \(r\):
\(x = r + 1 \quad (3)\)
Теперь подставим выражение для \(x\) из уравнения \((3)\) в одно из исходных уравнений, например, в первое уравнение \((1)\):
\((r + 1)r + (r + 1) = 9\)
Раскроем скобки:
\(r^2 + r + r + 1 = 9\)
\(r^2 + 2r + 1 = 9\)
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
\(r^2 + 2r + 1 - 9 = 0\)
\(r^2 + 2r - 8 = 0\)
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета.
По формуле корней \(r = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\), где \(A=1\), \(B=2\), \(C=-8\).
Дискриминант \(D = B^2 - 4AC = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\).
\(r = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2}\)
Находим два значения для \(r\):
\(r_1 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
\(r_2 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Теперь найдем соответствующие значения для \(x\), используя уравнение \(x = r + 1\).
Для \(r_1 = -4\):
\(x_1 = -4 + 1 = -3\)
Для \(r_2 = 2\):
\(x_2 = 2 + 1 = 3\)
Таким образом, мы получили две пары решений:
1. \(x_1 = -3\), \(r_1 = -4\)
2. \(x_2 = 3\), \(r_2 = 2\)
В задании сказано "Сначала записывай наименьшие значения". Сравним значения \(x\): \(-3 < 3\). Значит, \(-3\) — наименьшее значение \(x\).
Сравним значения \(r\): \(-4 < 2\). Значит, \(-4\) — наименьшее значение \(r\).
Поэтому в первую пару \((x_1, r_1)\) записываем \((-3, -4)\), а во вторую \((x_2, r_2)\) записываем \((3, 2)\).
Ответ:
\[ \begin{cases} x_1 = \boxed{\mathbf{-3}} \\ r_1 = \boxed{\mathbf{-4}} \end{cases} \quad \begin{cases} x_2 = \boxed{\mathbf{3}} \\ r_2 = \boxed{\mathbf{2}} \end{cases} \]