Решение системы уравнений x²-y²=5, xy=6

Решим систему уравнений и найдем произведение количества решений на наибольшее из найденных \(y\). Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \] Шаг 1: Из второго уравнения выразим \(y\) через \(x\). Так как \(xy = 6\), то \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\). \[ y = \frac{6}{x} \] Шаг 2: Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение. \[ x^2 - \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 5 \] \[ x^2 - \frac{36}{x^2} = 5 \] Шаг 3: Умножим все члены уравнения на \(x^2\) (так как \(x \neq 0\)): \[ x^4 - 36 = 5x^2 \] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение: \[ x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \] Шаг 4: Сделаем замену переменной. Пусть \(t = x^2\). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 5t - 36 = 0 \] Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно \(t\) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\) Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=-36\). \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) \] \[ D = 25 + 144 \] \[ D = 169 \] Найдем корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \] Шаг 6: Найдем значения \(t\). Формула для корней квадратного уравнения: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \[ t_1 = \frac{-(-5) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ t_2 = \frac{-(-5) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] Шаг 7: Вернемся к переменной \(x\), используя \(t = x^2\). Случай 1: \(t_1 = 9\) \[ x^2 = 9 \] \[ x = \sqrt{9} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{9} \] \[ x_1 = 3 \] \[ x_2 = -3 \] Случай 2: \(t_2 = -4\) \[ x^2 = -4 \] Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому этот случай не дает решений для \(x\) и \(y\) в действительных числах. Шаг 8: Найдем соответствующие значения \(y\) для найденных значений \(x\), используя \(y = \frac{6}{x}\). Для \(x_1 = 3\): \[ y_1 = \frac{6}{3} = 2 \] Пара решений: \((3, 2)\) Для \(x_2 = -3\): \[ y_2 = \frac{6}{-3} = -2 \] Пара решений: \((-3, -2)\) Шаг 9: Определим количество решений и наибольшее из найденных \(y\). Количество решений системы в действительных числах равно 2. Это пары \((3, 2)\) и \((-3, -2)\). Найденные значения \(y\) это \(2\) и \(-2\). Наибольшее из найденных значений \(y\) равно \(2\). Шаг 10: Вычислим произведение количества решений на наибольшее из найденных \(y\). Произведение = (Количество решений) \(\times\) (Наибольшее \(y\)) Произведение = \(2 \times 2 = 4\) Ответ: В ответе укажите произведение количества решений на наибольшее из найденных \(y\): 4