Решение системы уравнений x²-2xy+y²=9 и 4x²+xy+4y²=18

Решим систему уравнений и найдем сумму всех найденных значений \(x\) и \(y\). Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 9 \\ 4x^2 + xy + 4y^2 = 18 \end{cases} \] Шаг 1: Преобразуем первое уравнение. Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом разности: \[ (x - y)^2 = 9 \] Отсюда получаем два возможных случая для \(x - y\): \[ x - y = 3 \quad \text{или} \quad x - y = -3 \] Шаг 2: Преобразуем второе уравнение. \[ 4x^2 + xy + 4y^2 = 18 \] Мы можем заметить, что \(4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)\). Также мы знаем, что \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\). И \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Из первого уравнения мы имеем \(x^2 + y^2 = 9 + 2xy\). Подставим это во второе уравнение: \[ 4(9 + 2xy) + xy = 18 \] \[ 36 + 8xy + xy = 18 \] \[ 36 + 9xy = 18 \] \[ 9xy = 18 - 36 \] \[ 9xy = -18 \] \[ xy = -2 \] Шаг 3: Теперь у нас есть две системы уравнений, которые нужно решить. Система А: \[ \begin{cases} x - y = 3 \\ xy = -2 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \(x\): \(x = y + 3\). Подставим это во второе уравнение: \[ (y + 3)y = -2 \] \[ y^2 + 3y = -2 \] \[ y^2 + 3y + 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение для \(y\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\). \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 1}{2} \] \[ y_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ y_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Найдем соответствующие значения \(x\): Для \(y_1 = -1\): \(x_1 = -1 + 3 = 2\). Пара решений: \((2, -1)\). Для \(y_2 = -2\): \(x_2 = -2 + 3 = 1\). Пара решений: \((1, -2)\). Система Б: \[ \begin{cases} x - y = -3 \\ xy = -2 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \(x\): \(x = y - 3\). Подставим это во второе уравнение: \[ (y - 3)y = -2 \] \[ y^2 - 3y = -2 \] \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение для \(y\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\). \[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2} \] \[ y_3 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_4 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Найдем соответствующие значения \(x\): Для \(y_3 = 2\): \(x_3 = 2 - 3 = -1\). Пара решений: \((-1, 2)\). Для \(y_4 = 1\): \(x_4 = 1 - 3 = -2\). Пара решений: \((-2, 1)\). Шаг 4: Найдем сумму всех найденных значений \(x\) и \(y\). Все найденные значения \(x\): \(2, 1, -1, -2\). Все найденные значения \(y\): \(-1, -2, 2, 1\). Сумма всех \(x\): \(2 + 1 + (-1) + (-2) = 0\) Сумма всех \(y\): \(-1 + (-2) + 2 + 1 = 0\) Сумма всех найденных значений \(x\) и \(y\) (то есть \(x_1 + y_1 + x_2 + y_2 + x_3 + y_3 + x_4 + y_4\)): \[ (2 + (-1)) + (1 + (-2)) + (-1 + 2) + (-2 + 1) \] \[ = 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0 \] Ответ: Сумма всех найденных значений \(x\) и \(y\): 0