Задача 32
Дано:
Скорость мотоциклиста \(u = 20 \text{ м/с}\)
Радиус цилиндра \(R = 4 \text{ м}\)
Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \text{ м/с}^2\)
Найти:
Коэффициент трения шин мотоцикла о стенки цилиндра \(\mu\)
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на мотоциклиста, движущегося по внутренней поверхности вертикального цилиндра.
1. Сила тяжести \(F_т\), направленная вертикально вниз:
\[F_т = mg\]где \(m\) – масса мотоцикла с человеком.
2. Сила нормального давления \(N\), направленная горизонтально к центру окружности. Эта сила обеспечивает центростремительное ускорение.
\[N = ma_ц\]где \(a_ц\) – центростремительное ускорение.
Центростремительное ускорение определяется формулой:
\[a_ц = \frac{u^2}{R}\]Тогда сила нормального давления:
\[N = m \frac{u^2}{R}\]3. Сила трения покоя \(F_{тр}\), направленная вертикально вверх, препятствующая соскальзыванию мотоцикла вниз.
Максимальная сила трения покоя определяется формулой:
\[F_{тр} = \mu N\]где \(\mu\) – коэффициент трения.
Для того чтобы мотоциклист не соскальзывал вниз, сила трения должна быть не меньше силы тяжести:
\[F_{тр} \ge F_т\]В минимальном случае, когда мотоциклист находится на грани соскальзывания, сила трения равна силе тяжести:
\[F_{тр} = F_т\]Подставим выражения для сил:
\[\mu N = mg\]Теперь подставим выражение для силы нормального давления \(N\):
\[\mu \left( m \frac{u^2}{R} \right) = mg\]Масса \(m\) сокращается с обеих сторон уравнения:
\[\mu \frac{u^2}{R} = g\]Выразим коэффициент трения \(\mu\):
\[\mu = \frac{gR}{u^2}\]Вычисления:
Подставим числовые значения:
\[\mu = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \text{ м}}{(20 \text{ м/с})^2}\] \[\mu = \frac{39.2 \text{ м}^2/\text{с}^2}{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[\mu = 0.098\]Ответ:
Коэффициент трения шин мотоцикла о стенки цилиндра равен \(0.098\).