Решение задачи на вычисление пределов

Конечно, давайте решим эти задачи по вычислению пределов.
1. Найти предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3n}\right)^{-n} \] Это предел второго замечательного предела вида \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}\). В нашем случае, \(x = n\), \(k = -\frac{1}{3}\), \(m = 1\). Тогда: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3n}\right)^{-n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{-1/3}{n}\right)^{n \cdot (-1)} \] Здесь \(k = -\frac{1}{3}\) и степень \(-n\). Мы можем переписать степень так: \(-n = n \cdot (-1)\). Тогда, используя формулу, получаем: \[ e^{\left(-\frac{1}{3}\right) \cdot (-1)} = e^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{e} \] Ответ: \(\sqrt[3]{e}\)
2. Найти предел: \[ \lim_{x \to 4} \frac{-x + x^2 - 2}{x^2 - 5x + 4} \] Сначала подставим \(x = 4\) в числитель и знаменатель: Числитель: \(-4 + 4^2 - 2 = -4 + 16 - 2 = 10\) Знаменатель: \(4^2 - 5 \cdot 4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0\) Так как знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, предел будет равен бесконечности. Чтобы определить знак бесконечности, рассмотрим поведение функции при \(x \to 4\) справа и слева. Разложим знаменатель на множители: \(x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)\). Тогда: \[ \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - x - 2}{(x-1)(x-4)} \] При \(x \to 4^+\) (x стремится к 4 справа, то есть \(x > 4\)): Числитель \((x^2 - x - 2)\) стремится к \(10\). Знаменатель \((x-1)\) стремится к \(3\). Знаменатель \((x-4)\) стремится к \(0^+\) (положительное число, очень близкое к нулю). Тогда \(\frac{10}{3 \cdot 0^+} = +\infty\). При \(x \to 4^-\) (x стремится к 4 слева, то есть \(x < 4\)): Числитель \((x^2 - x - 2)\) стремится к \(10\). Знаменатель \((x-1)\) стремится к \(3\). Знаменатель \((x-4)\) стремится к \(0^-\) (отрицательное число, очень близкое к нулю). Тогда \(\frac{10}{3 \cdot 0^-} = -\infty\). Так как пределы справа и слева не совпадают, предел не существует. Ответ: Предел не существует.
3. Найти предел: \[ \lim_{x \to -1} \frac{2x^2 - x - 3}{x^2 - 3x - 4} \] Сначала подставим \(x = -1\) в числитель и знаменатель: Числитель: \(2(-1)^2 - (-1) - 3 = 2 \cdot 1 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0\) Знаменатель: \((-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0\) Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя \(2x^2 - x - 3\): корни квадратного уравнения \(2x^2 - x - 3 = 0\) можно найти по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). \(x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}\). Корни: \(x_1 = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) и \(x_2 = \frac{1-5}{4} = \frac{-4}{4} = -1\). Значит, \(2x^2 - x - 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - (-1)) = (2x - 3)(x + 1)\). Для знаменателя \(x^2 - 3x - 4\): корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\). По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 3\), \(x_1 \cdot x_2 = -4\). Корни: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -1\). Значит, \(x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)\). Теперь подставим разложенные множители в предел: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(2x - 3)(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)} \] Сократим \((x + 1)\), так как \(x \neq -1\) при стремлении к \(-1\): \[ \lim_{x \to -1} \frac{2x - 3}{x - 4} \] Теперь подставим \(x = -1\): \[ \frac{2(-1) - 3}{-1 - 4} = \frac{-2 - 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1 \] Ответ: \(1\)
4. Найти предел: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^3 + 2x - 3} \] Это предел рациональной функции при \(x \to \infty\). Сравним степени числителя и знаменателя. Степень числителя (наивысшая степень \(x\)) равна \(2\). Степень знаменателя (наивысшая степень \(x\)) равна \(3\). Так как степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен \(0\). Для строгого решения, разделим каждый член числителя и знаменателя на \(x^3\) (наивысшую степень \(x\) в знаменателе): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}} \] При \(x \to \infty\), члены вида \(\frac{C}{x^k}\) стремятся к \(0\). Тогда: \[ \frac{0 + 0 + 0}{1 + 0 - 0} = \frac{0}{1} = 0 \] Ответ: \(0\)
5. Найти предел: \[ \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x+6} - 2}{x^2 - 4} \] Сначала подставим \(x = -2\) в числитель и знаменатель: Числитель: \(\sqrt{-2+6} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0\) Знаменатель: \((-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0\) Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на \(\sqrt{x+6} + 2\). \[ \lim_{x \to -2} \frac{(\sqrt{x+6} - 2)(\sqrt{x+6} + 2)}{(x^2 - 4)(\sqrt{x+6} + 2)} \] Используем формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) для числителя: \[ (\sqrt{x+6})^2 - 2^2 = (x+6) - 4 = x + 2 \] Разложим знаменатель \(x^2 - 4\) на множители: \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). Теперь подставим эти выражения обратно в предел: \[ \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x-2)(x+2)(\sqrt{x+6} + 2)} \] Сократим \((x + 2)\), так как \(x \neq -2\) при стремлении к \(-2\): \[ \lim_{x \to -2} \frac{1}{(x-2)(\sqrt{x+6} + 2)} \] Теперь подставим \(x = -2\): \[ \frac{1}{(-2-2)(\sqrt{-2+6} + 2)} = \frac{1}{(-4)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{1}{(-4)(2 + 2)} = \frac{1}{(-4)(4)} = \frac{1}{-16} = -\frac{1}{16} \] Ответ: \(-\frac{1}{16}\)