Решение предела функции (1 + 1/3n)^(n-1)

Хорошо, давайте решим эти задачи по вычислению пределов.
1. Найти предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{n-1} \] Это предел второго замечательного предела вида \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}\). В нашем случае, \(x = n\), \(k = \frac{1}{3}\). Степень \((n-1)\) можно представить как \(n \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)\). Тогда: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{n-1} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1/3}{n}\right)^{n} \cdot \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{-1} \] Первая часть стремится к \(e^{1/3 \cdot 1} = e^{1/3}\). Вторая часть \(\left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{-1}\) при \(n \to \infty\) стремится к \((1 + 0)^{-1} = 1^{-1} = 1\). Таким образом, предел равен: \[ e^{1/3} \cdot 1 = e^{1/3} = \sqrt[3]{e} \] Ответ: \(\sqrt[3]{e}\)
2. Найти предел: \[ \lim_{x \to 1} \frac{2x + 3x^2 - 1}{x^2 + 4x - 1} \] Сначала подставим \(x = 1\) в числитель и знаменатель: Числитель: \(2(1) + 3(1)^2 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4\) Знаменатель: \((1)^2 + 4(1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4\) Так как знаменатель не равен нулю, мы можем просто подставить значение \(x\). \[ \frac{4}{4} = 1 \] Ответ: \(1\)
3. Найти предел: \[ \lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 3x - 2}{3x^2 + 2x - 8} \] Сначала подставим \(x = -2\) в числитель и знаменатель: Числитель: \(2(-2)^2 + 3(-2) - 2 = 2 \cdot 4 - 6 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0\) Знаменатель: \(3(-2)^2 + 2(-2) - 8 = 3 \cdot 4 - 4 - 8 = 12 - 4 - 8 = 0\) Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя \(2x^2 + 3x - 2\): корни квадратного уравнения \(2x^2 + 3x - 2 = 0\). \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\). Корни: \(x_1 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\). Значит, \(2x^2 + 3x - 2 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-2)) = (2x - 1)(x + 2)\). Для знаменателя \(3x^2 + 2x - 8\): корни квадратного уравнения \(3x^2 + 2x - 8 = 0\). \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{-2 \pm 10}{6}\). Корни: \(x_1 = \frac{-2+10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\) и \(x_2 = \frac{-2-10}{6} = \frac{-12}{6} = -2\). Значит, \(3x^2 + 2x - 8 = 3(x - \frac{4}{3})(x - (-2)) = (3x - 4)(x + 2)\). Теперь подставим разложенные множители в предел: \[ \lim_{x \to -2} \frac{(2x - 1)(x + 2)}{(3x - 4)(x + 2)} \] Сократим \((x + 2)\), так как \(x \neq -2\) при стремлении к \(-2\): \[ \lim_{x \to -2} \frac{2x - 1}{3x - 4} \] Теперь подставим \(x = -2\): \[ \frac{2(-2) - 1}{3(-2) - 4} = \frac{-4 - 1}{-6 - 4} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} \] Ответ: \(\frac{1}{2}\)
4. Найти предел: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x + 1}{x^2 + 2x - 5} \] Это предел рациональной функции при \(x \to \infty\). Сравним степени числителя и знаменателя. Степень числителя (наивысшая степень \(x\)) равна \(3\). Степень знаменателя (наивысшая степень \(x\)) равна \(2\). Так как степень числителя больше степени знаменателя, предел равен бесконечности. Для строгого решения, разделим каждый член числителя и знаменателя на \(x^2\) (наивысшую степень \(x\) в знаменателе): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^3}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}} \] При \(x \to \infty\), члены вида \(\frac{C}{x^k}\) стремятся к \(0\). Тогда: \[ \frac{2 \cdot \infty - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = \frac{\infty}{1} = \infty \] Ответ: \(\infty\)
5. Найти предел: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x-2} - 2}{x^2 - 4} \] Сначала подставим \(x = 2\) в числитель и знаменатель: Числитель: \(\sqrt{3(2)-2} - 2 = \sqrt{6-2} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0\) Знаменатель: \(2^2 - 4 = 4 - 4 = 0\) Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на \(\sqrt{3x-2} + 2\). \[ \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{3x-2} - 2)(\sqrt{3x-2} + 2)}{(x^2 - 4)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] Используем формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) для числителя: \[ (\sqrt{3x-2})^2 - 2^2 = (3x-2) - 4 = 3x - 6 = 3(x - 2) \] Разложим знаменатель \(x^2 - 4\) на множители: \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). Теперь подставим эти выражения обратно в предел: \[ \lim_{x \to 2} \frac{3(x - 2)}{(x-2)(x+2)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] Сократим \((x - 2)\), так как \(x \neq 2\) при стремлении к \(2\): \[ \lim_{x \to 2} \frac{3}{(x+2)(\sqrt{3x-2} + 2)} \] Теперь подставим \(x = 2\): \[ \frac{3}{(2+2)(\sqrt{3(2)-2} + 2)} = \frac{3}{(4)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{3}{(4)(2 + 2)} = \frac{3}{(4)(4)} = \frac{3}{16} \] Ответ: \(\frac{3}{16}\)