Задание 1
Укажите решение системы неравенств:
\[ \begin{cases} -9 + 3x < 0, \\ 2 - 3x > -10. \end{cases} \]Решение:
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство:
\[ -9 + 3x < 0 \]Перенесем число -9 в правую часть неравенства, изменив его знак:
\[ 3x < 9 \]Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 - положительное число, знак неравенства не меняется:
\[ x < \frac{9}{3} \] \[ x < 3 \]Решение первого неравенства в виде интервала: \( (-\infty; 3) \).
Второе неравенство:
\[ 2 - 3x > -10 \]Перенесем число 2 в правую часть неравенства, изменив его знак:
\[ -3x > -10 - 2 \] \[ -3x > -12 \]Разделим обе части неравенства на -3. Так как -3 - отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
\[ x < \frac{-12}{-3} \] \[ x < 4 \]Решение второго неравенства в виде интервала: \( (-\infty; 4) \).
Найдем общее решение системы:
Система неравенств означает, что должны выполняться оба условия одновременно. То есть, нужно найти пересечение решений каждого неравенства.
Нам нужно найти такие значения \(x\), которые одновременно меньше 3 и меньше 4.
Если \(x < 3\), то это автоматически означает, что \(x\) также меньше 4.
Поэтому, общим решением системы будет интервал, который удовлетворяет обоим условиям, то есть \(x < 3\).
В виде интервала это записывается как \( (-\infty; 3) \).
Ответ:
Среди предложенных вариантов правильный ответ: \( (-\infty; 3) \).