Задание 4
Укажите решение неравенства \( 8x - x^2 \ge 0 \).
Решение:
Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения.
Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду и найдем корни.
Перепишем неравенство, чтобы старший коэффициент был положительным (это упростит дальнейшее рассуждение, хотя и не обязательно):
\[ -x^2 + 8x \ge 0 \]Умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства меняется на противоположный:
\[ x^2 - 8x \le 0 \]Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 8x = 0 \).
Вынесем \(x\) за скобки:
\[ x(x - 8) = 0 \]Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 8 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 8 \]Корни уравнения: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 8\).
Шаг 2: Используем метод интервалов.
Отметим найденные корни на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), точки 0 и 8 будут закрашенными (включены в решение).
Числовая прямая разбивается на три интервала: \( (-\infty; 0] \), \( [0; 8] \), \( [8; +\infty) \).
Теперь определим знак выражения \( x^2 - 8x \) на каждом интервале.
Это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0).
Знаки будут чередоваться, начиная с плюса справа от большего корня:
- На интервале \( (-\infty; 0] \): возьмем, например, \(x = -1\). \( (-1)^2 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 > 0 \). Знак "+".
- На интервале \( [0; 8] \): возьмем, например, \(x = 1\). \( (1)^2 - 8(1) = 1 - 8 = -7 < 0 \). Знак "-".
- На интервале \( [8; +\infty) \): возьмем, например, \(x = 9\). \( (9)^2 - 8(9) = 81 - 72 = 9 > 0 \). Знак "+".
Нам нужно найти, где \( x^2 - 8x \le 0 \). Это соответствует интервалу, где знак минус, а также точкам, где выражение равно нулю.
Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 8x \le 0 \) это \( [0; 8] \).
Ответ:
Среди предложенных вариантов правильный ответ: \( [0; 8] \).