Задание 5
Укажите решение неравенства \( (x + 5)(x - 9) > 0 \).
Решение:
Это квадратное неравенство, которое уже разложено на множители. Для его решения используем метод интервалов.
Шаг 1: Найдем корни (нули) выражения.
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти значения \(x\), при которых выражение равно нулю:
\[ x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \] \[ x - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9 \]Корни выражения: \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 9\).
Шаг 2: Отметим корни на числовой прямой и определим знаки.
Отметим найденные корни на числовой прямой. Так как неравенство строгое (\(>\)), точки -5 и 9 будут выколотыми (не включены в решение).
Числовая прямая разбивается на три интервала: \( (-\infty; -5) \), \( (-5; 9) \), \( (9; +\infty) \).
Теперь определим знак выражения \( (x + 5)(x - 9) \) на каждом интервале.
Это произведение двух линейных множителей. Если раскрыть скобки, получим \( x^2 - 4x - 45 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0).
Знаки будут чередоваться, начиная с плюса справа от большего корня:
- На интервале \( (-\infty; -5) \): возьмем, например, \(x = -6\). \( (-6 + 5)(-6 - 9) = (-1)(-15) = 15 > 0 \). Знак "+".
- На интервале \( (-5; 9) \): возьмем, например, \(x = 0\). \( (0 + 5)(0 - 9) = (5)(-9) = -45 < 0 \). Знак "-".
- На интервале \( (9; +\infty) \): возьмем, например, \(x = 10\). \( (10 + 5)(10 - 9) = (15)(1) = 15 > 0 \). Знак "+".
Нам нужно найти, где \( (x + 5)(x - 9) > 0 \). Это соответствует интервалам, где знак плюс.
Таким образом, решение неравенства это объединение интервалов \( (-\infty; -5) \) и \( (9; +\infty) \).
Записывается это как \( (-\infty; -5) \cup (9; +\infty) \).
Ответ:
Среди предложенных вариантов правильный ответ: \( (-\infty; -5) \cup (9; +\infty) \).