Задание 7
Укажите решение неравенства \( x^2 \le 36 \).
Решение:
Это квадратное неравенство. Для его решения перенесем все члены в одну сторону и найдем корни соответствующего квадратного уравнения.
Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду.
\[ x^2 - 36 \le 0 \]Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 36 = 0 \).
Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = x \) и \( b = 6 \).
\[ (x - 6)(x + 6) = 0 \]Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ x - 6 = 0 \quad \text{или} \quad x + 6 = 0 \] \[ x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6 \]Корни уравнения: \(x_1 = -6\) и \(x_2 = 6\).
Шаг 3: Используем метод интервалов.
Отметим найденные корни на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), точки -6 и 6 будут закрашенными (включены в решение).
Числовая прямая разбивается на три интервала: \( (-\infty; -6] \), \( [-6; 6] \), \( [6; +\infty) \).
Теперь определим знак выражения \( x^2 - 36 \) на каждом интервале.
Это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0).
Знаки будут чередоваться, начиная с плюса справа от большего корня:
- На интервале \( (-\infty; -6] \): возьмем, например, \(x = -7\). \( (-7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13 > 0 \). Знак "+".
- На интервале \( [-6; 6] \): возьмем, например, \(x = 0\). \( (0)^2 - 36 = -36 < 0 \). Знак "-".
- На интервале \( [6; +\infty) \): возьмем, например, \(x = 7\). \( (7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13 > 0 \). Знак "+".
Нам нужно найти, где \( x^2 - 36 \le 0 \). Это соответствует интервалу, где знак минус, а также точкам, где выражение равно нулю.
Таким образом, решение неравенства \( x^2 \le 36 \) это \( [-6; 6] \).
Ответ:
Среди предложенных вариантов, правильный ответ соответствует интервалу \( [-6; 6] \), где обе точки закрашены, а штриховка находится между ними.
Это первый вариант ответа на изображении.