ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 1
6. Отметьте на координатной прямой число \(\sqrt{174}\).
Решение:
Для того чтобы отметить число \(\sqrt{174}\) на координатной прямой, нужно сначала оценить его значение. Найдем ближайшие целые числа, квадраты которых находятся рядом с 174.
Мы знаем, что:
\[13^2 = 169\] \[14^2 = 196\]Так как \(169 < 174 < 196\), то \(\sqrt{169} < \sqrt{174} < \sqrt{196}\).
Это означает, что \(13 < \sqrt{174} < 14\).
Число \(\sqrt{174}\) находится между 13 и 14. Оно ближе к 13, так как \(174 - 169 = 5\), а \(196 - 174 = 22\).
Примерно \(\sqrt{174} \approx 13,19\).
На координатной прямой нужно поставить точку между 13 и 14, немного правее 13.
Ответ:
На координатной прямой точка должна быть расположена между 13 и 14, ближе к 13.
(На рисунке выше точка должна быть примерно на 1/4 расстояния от 13 до 14)
7. Найдите значение выражения \(\frac{5(2k^5)^4}{k^{17}k^5}\) при \(k = 2\sqrt{5}\).
Решение:
Сначала упростим выражение:
\[\frac{5(2k^5)^4}{k^{17}k^5}\]Используем свойства степеней: \((ab)^n = a^n b^n\) и \((a^m)^n = a^{mn}\).
\[(2k^5)^4 = 2^4 \cdot (k^5)^4 = 16 \cdot k^{5 \cdot 4} = 16k^{20}\]Теперь подставим это в числитель:
\[5 \cdot 16k^{20} = 80k^{20}\]В знаменателе используем свойство \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
\[k^{17}k^5 = k^{17+5} = k^{22}\]Теперь выражение выглядит так:
\[\frac{80k^{20}}{k^{22}}\]Используем свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):
\[80k^{20-22} = 80k^{-2}\]Или, что то же самое, \(\frac{80}{k^2}\).
Теперь подставим значение \(k = 2\sqrt{5}\) в упрощенное выражение:
\[k^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\]Подставляем \(k^2 = 20\) в выражение \(\frac{80}{k^2}\):
\[\frac{80}{20} = 4\]Ответ:
4
8. Вероятность того, что в некотором городе в случайный момент времени атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст., равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени давление составляет менее 748 мм рт. ст.
Решение:
Пусть событие А — "атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст.". Это означает, что давление больше или равно 748 мм рт. ст.
Вероятность этого события \(P(A) = 0,62\).
Нам нужно найти вероятность того, что давление составляет менее 748 мм рт. ст. Это событие является противоположным событию А.
Обозначим противоположное событие как \(\bar{A}\) — "атмосферное давление менее 748 мм рт. ст.".
Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1:
\[P(A) + P(\bar{A}) = 1\]Отсюда, чтобы найти \(P(\bar{A})\), нужно вычесть \(P(A)\) из 1:
\[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\] \[P(\bar{A}) = 1 - 0,62\] \[P(\bar{A}) = 0,38\]Ответ:
0,38
9. Углы треугольника относятся как 3:6:11. Найдите меньший из этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть углы треугольника равны \(3x\), \(6x\) и \(11x\), где \(x\) — некоторый коэффициент пропорциональности.
Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам.
Составим уравнение:
\[3x + 6x + 11x = 180^\circ\]Сложим коэффициенты при \(x\):
\[(3 + 6 + 11)x = 180^\circ\] \[20x = 180^\circ\]Теперь найдем значение \(x\):
\[x = \frac{180^\circ}{20}\] \[x = 9^\circ\]Теперь, зная \(x\), мы можем найти величину каждого угла:
Первый угол: \(3x = 3 \cdot 9^\circ = 27^\circ\)
Второй угол: \(6x = 6 \cdot 9^\circ = 54^\circ\)
Третий угол: \(11x = 11 \cdot 9^\circ = 99^\circ\)
Проверим сумму углов: \(27^\circ + 54^\circ + 99^\circ = 180^\circ\). Все верно.
Нам нужно найти меньший из этих углов. Меньший угол соответствует наименьшему коэффициенту в отношении, то есть \(3x\).
Меньший угол равен \(27^\circ\).
Ответ:
27