10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.
Решение:
Для того чтобы найти длину отрезка AB, мы можем использовать теорему Пифагора. Сначала определим координаты точек A и B, если считать, что начало координат находится в левом нижнем углу сетки.
Точка A находится в координатах (1, 1).
Точка B находится в координатах (8, 7).
Теперь найдем разницу по координатам x и y:
Разница по x: \( \Delta x = 8 - 1 = 7 \)
Разница по y: \( \Delta y = 7 - 1 = 6 \)
Длина отрезка AB (обозначим её как L) находится по формуле:
\( L = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \)
Подставляем значения:
\( L = \sqrt{(7)^2 + (6)^2} \)
\( L = \sqrt{49 + 36} \)
\( L = \sqrt{85} \)
Ответ: \( \sqrt{85} \)
11. Саша хочет обвести граф, изображённый на рисунке, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. С какой вершины Саше стоит начать обводить граф?
Решение:
Эта задача связана с теорией графов, а именно с существованием эйлерова пути. Эйлеров путь существует в графе, если он связный и имеет не более двух вершин нечётной степени. Если таких вершин две, то путь должен начинаться в одной из них и заканчиваться в другой. Если таких вершин нет (все вершины чётной степени), то путь может начинаться в любой вершине и будет эйлеровым циклом.
Давайте определим степень каждой вершины (количество рёбер, исходящих из вершины):
- Вершина A: 2 ребра (A-B, A-C) - чётная степень.
- Вершина B: 3 ребра (B-A, B-O, B-D) - нечётная степень.
- Вершина C: 3 ребра (C-A, C-O, C-E) - нечётная степень.
- Вершина D: 2 ребра (D-B, D-F) - чётная степень.
- Вершина E: 2 ребра (E-C, E-F) - чётная степень.
- Вершина F: 2 ребра (F-D, F-E) - чётная степень.
- Вершина O: 4 ребра (O-B, O-C, O-D, O-E) - чётная степень.
В данном графе есть две вершины нечётной степени: B и C. Чтобы обвести граф, не отрывая карандаша и не проводя ни одно ребро дважды, Саша должен начать с одной из этих вершин нечётной степени.
Ответ: B или C
12. Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.
Решение:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон.
Это утверждение является ложным. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника должна быть *меньше суммы* длин двух других сторон и *больше разности* длин двух других сторон. То есть, для сторон a, b, c должно выполняться: \( |a - b| < c < a + b \). Утверждение говорит, что \( c < |a - b| \), что противоречит неравенству треугольника.
2) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
Это утверждение является истинным. В правильном треугольнике все замечательные точки (центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот) совпадают. Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис, а в правильном треугольнике биссектрисы также являются высотами и медианами.
3) Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Это утверждение является истинным. Это один из признаков параллельности прямых. Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то эти две прямые параллельны.
Таким образом, ложным является первое утверждение.
Ответ: 1