Решение: Построение плоской решетки Браве и примитивной ячейки

Хорошо, давайте разберем каждый пункт из "ВАРИАНТА 1". 1. Построить пример плоской решетки Браве. (1) Ответ: Плоская решетка Браве — это бесконечный массив точек, расположенных периодически в двумерном пространстве. Примером может служить квадратная решетка. Представьте себе лист бумаги, на котором через равные промежутки нарисованы точки, образующие квадраты. Каждая точка в такой решетке имеет одинаковое окружение. Изображение: Представьте себе сетку из точек, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга по горизонтали и вертикали. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Изобразить примитивную элементарную ячейку. (1) Ответ: Примитивная элементарная ячейка — это наименьший объем (или площадь в двумерном случае), который при трансляции (перемещении) по всей решетке может полностью ее воспроизвести. Она содержит только одну точку решетки. Для квадратной решетки примитивная ячейка — это квадрат, образованный четырьмя соседними точками, но при этом каждая угловая точка принадлежит ячейке только на 1/4. Изображение: Возьмем квадратную решетку из пункта 1. Выделим один квадрат, образованный четырьмя точками. Это и будет примитивная ячейка. .---. | | .---. 3. Изобразить ячейку гранецентрированной кубической (ГЦК) решётки. (1) Ответ: Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка — это тип кристаллической решетки, в которой атомы расположены в вершинах куба и в центрах каждой из шести граней куба. Изображение: Представьте куб. В каждой из 8 вершин куба находится атом. И еще по одному атому в центре каждой из 6 граней куба. 4. Укажите основные векторы ГЦК решётки. (1) Ответ: Основные (базисные) векторы ГЦК решетки, если ребро куба равно \(a\), можно записать так: \[\vec{a}_1 = \frac{a}{2}(\vec{i} + \vec{j})\] \[\vec{a}_2 = \frac{a}{2}(\vec{j} + \vec{k})\] \[\vec{a}_3 = \frac{a}{2}(\vec{k} + \vec{i})\] где \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) — это единичные векторы вдоль осей \(x\), \(y\), \(z\) соответственно. 5. Найдите объем элементарной ячейки ГЦК решётки. (1) Ответ: Объем примитивной элементарной ячейки ГЦК решетки можно найти, используя базисные векторы. Объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен модулю смешанного произведения векторов: \[V = |\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)|\] Подставим векторы: \[\vec{a}_2 \times \vec{a}_3 = \frac{a^2}{4} [(\vec{j} + \vec{k}) \times (\vec{k} + \vec{i})] = \frac{a^2}{4} [\vec{j} \times \vec{k} + \vec{j} \times \vec{i} + \vec{k} \times \vec{k} + \vec{k} \times \vec{i}]\] \[= \frac{a^2}{4} [\vec{i} - \vec{k} + 0 + \vec{j}] = \frac{a^2}{4} (\vec{i} + \vec{j} - \vec{k})\] Теперь скалярное произведение: \[V = \left| \frac{a}{2}(\vec{i} + \vec{j}) \cdot \frac{a^2}{4} (\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}) \right|\] \[V = \left| \frac{a^3}{8} ((\vec{i} \cdot \vec{i}) + (\vec{i} \cdot \vec{j}) - (\vec{i} \cdot \vec{k}) + (\vec{j} \cdot \vec{i}) + (\vec{j} \cdot \vec{j}) - (\vec{j} \cdot \vec{k})) \right|\] \[V = \left| \frac{a^3}{8} (1 + 0 - 0 + 0 + 1 - 0) \right| = \left| \frac{a^3}{8} (2) \right| = \frac{a^3}{4}\] Таким образом, объем примитивной элементарной ячейки ГЦК решетки равен \(a^3/4\). 6. В чем заключается метод Лауэ для изучения структуры кристаллов? (1) Ответ: Метод Лауэ — это один из основных методов рентгеноструктурного анализа, используемый для изучения симметрии и ориентации кристаллов. Суть метода заключается в следующем: на неподвижный монокристалл направляется пучок "белого" (немонохроматического, то есть содержащего широкий спектр длин волн) рентгеновского излучения. Кристалл дифрагирует (рассеивает) рентгеновские лучи под определенными углами, которые зависят от его кристаллической структуры. Дифрагированные лучи регистрируются на фотопленке или детекторе, расположенном за кристаллом. На пленке образуется характерная картина из пятен (лауэграмма), анализ которой позволяет определить симметрию кристалла и его ориентацию. Каждое пятно соответствует отражению от определенной системы кристаллографических плоскостей. 7. Что представляют собой дефекты по Френкелю? (1) Ответ: Дефекты по Френкелю — это тип точечных дефектов в кристаллической решетке. Они представляют собой пару, состоящую из вакансии (пустого места, где должен был быть атом) и междоузельного атома (атома, который покинул свое обычное место в решетке и переместился в междоузлие, то есть в пространство между другими атомами). Общее количество атомов в кристалле при этом не меняется, но их расположение нарушается. Такие дефекты характерны для ионных кристаллов, где ионы могут перемещаться в междоузлия, оставляя за собой вакансии. 8. Изобразить модель металла в рамках теории Друдэ. (1) Ответ: Модель Друдэ представляет металл как совокупность положительно заряженных ионов, образующих кристаллическую решетку, и "газа" свободных электронов, которые движутся хаотично между этими ионами. Электроны считаются классическими частицами, которые не взаимодействуют друг с другом, но могут сталкиваться с ионами решетки. Эти столкновения приводят к рассеянию электронов и определяют электрическое сопротивление металла. Изображение: Представьте себе ряд положительных зарядов (кружочки со знаком "+"), расположенных в виде решетки. Между ними хаотично движутся маленькие отрицательные заряды (точки со знаком "-"), представляющие электроны. + - + - + - + - + - + - + - + 9. Запишите выражение для электропроводности металла в переменном электрическом поле. (1) Ответ: В рамках теории Друдэ, электропроводность \(\sigma(\omega)\) в переменном электрическом поле с частотой \(\omega\) выражается как: \[\sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1 - i\omega\tau}\] где \(\sigma_0 = \frac{ne^2\tau}{m}\) — статическая (постоянного тока) электропроводность, \(n\) — концентрация электронов, \(e\) — заряд электрона, \(m\) — масса электрона, \(\tau\) — время релаксации (среднее время между столкновениями электронов), \(i\) — мнимая единица. 10. Запишите выражения для постоянной Холла. (1) Ответ: Постоянная Холла \(R_H\) характеризует эффект Холла, который возникает, когда через проводник с током, помещенный в магнитное поле, протекает электрический ток. В рамках простой модели Друдэ для металлов постоянная Холла выражается как: \[R_H = -\frac{1}{ne}\] где \(n\) — концентрация носителей заряда (электронов), \(e\) — элементарный заряд. Знак "минус" указывает на то, что носителями заряда являются электроны. Для полупроводников p-типа, где носителями являются дырки, \(R_H = \frac{1}{pe}\), где \(p\) — концентрация дырок. 11. Запишите выражение для циклотронной частоты. (1) Ответ: Циклотронная частота \(\omega_c\) — это частота вращения заряженной частицы (например, электрона) в однородном магнитном поле, перпендикулярном скорости частицы. Она выражается как: \[\omega_c = \frac{eB}{m^*}\] где \(e\) — заряд частицы, \(B\) — индукция магнитного поля, \(m^*\) — эффективная масса частицы. 12. Запишите закон теплопроводности Фурье. (1) Ответ: Закон теплопроводности Фурье описывает перенос тепла в материале в результате температурного градиента. Он гласит, что плотность теплового потока \(\vec{q}\) пропорциональна градиенту температуры \(\nabla T\): \[\vec{q} = -\lambda \nabla T\] где \(\vec{q}\) — плотность теплового потока (количество тепла, проходящее через единицу площади в единицу времени), \(\lambda\) — коэффициент теплопроводности материала, \(\nabla T\) — градиент температуры (вектор, указывающий направление наибольшего изменения температуры). Знак "минус" указывает на то, что тепло течет в направлении, противоположном градиенту температуры (от более горячих областей к более холодным). 13. В чем основные ошибки теории Друдэ? (3) Ответ: Теория Друдэ, несмотря на свою простоту и способность объяснить многие явления, имеет ряд существенных недостатков и ошибок:

1. Классическое описание электронов: Теория Друдэ рассматривает электроны как классические частицы, подчиняющиеся законам классической механики и статистике Максвелла-Больцмана. Однако электроны в металлах являются квантовыми частицами и должны описываться квантовой механикой и статистикой Ферми-Дирака. Это приводит к неверным предсказаниям теплоемкости электронов и других свойств.
2. Неверная оценка теплоемкости электронов: Согласно классической теории, каждый электрон должен вносить вклад в теплоемкость, равный \(3/2 k_B\). Это привело бы к значительному вкладу электронов в общую теплоемкость металла, что противоречит экспериментальным данным. Квантовая теория (модель свободных электронов Ферми) показывает, что только электроны вблизи уровня Ферми могут поглощать энергию, и их вклад в теплоемкость значительно меньше.
3. Неверная зависимость сопротивления от температуры: Теория Друдэ предсказывает, что сопротивление должно быть пропорционально корню из температуры, что не соответствует экспериментальным данным для большинства металлов при низких температурах.
4. Отсутствие объяснения сверхпроводимости: Теория Друдэ не может объяснить явление сверхпроводимости, при котором сопротивление некоторых металлов падает до нуля при очень низких температурах.
5. Неверная оценка времени релаксации: Время релаксации \(\tau\) в теории Друдэ вводится феноменологически. При попытке рассчитать его из классических представлений о столкновениях электронов с ионами получаются значения, не соответствующие экспериментальным.
6. Отсутствие объяснения магнитных свойств: Теория Друдэ не может объяснить парамагнитные и диамагнитные свойства металлов, которые являются чисто квантовыми эффектами.

Эти ошибки были исправлены с развитием квантовой механики и созданием более совершенных моделей, таких как модель свободных электронов Ферми и зонная теория.