Решение задачи по биостатистике: Вероятность приемки детали

Хорошо, давайте решим эти задачи по биостатистике.

Основы биостатистики

Контрольная работа

Модуль 1

1. Теория вероятностей:

Вероятность брака при изготовлении детали равна 0,04. Приемка деталей производится по следующей системе контроля: годная деталь принимается с вероятностью 0,98, а бракованная – с вероятностью 0,1. Найти вероятность приемки детали.

Решение:

Обозначим события:

• \(Г\) – деталь годная.
• \(Б\) – деталь бракованная.
• \(П\) – деталь принята.

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:

• Вероятность брака: \(P(Б) = 0,04\).
• Вероятность того, что деталь годная: \(P(Г) = 1 - P(Б) = 1 - 0,04 = 0,96\).
• Вероятность того, что годная деталь будет принята: \(P(П|Г) = 0,98\).
• Вероятность того, что бракованная деталь будет принята: \(P(П|Б) = 0,1\).

Нам нужно найти полную вероятность приемки детали \(P(П)\). Для этого воспользуемся формулой полной вероятности:

\[P(П) = P(П|Г) \cdot P(Г) + P(П|Б) \cdot P(Б)\]

Подставим известные значения в формулу:

\[P(П) = 0,98 \cdot 0,96 + 0,1 \cdot 0,04\] \[P(П) = 0,9408 + 0,004\] \[P(П) = 0,9448\]

Ответ: Вероятность приемки детали составляет 0,9448.

2. Случайные величины:

2.1

В некоторой большой популяции у 30% людей волосы чёрные, у 50% рыжие и у 20% светлые. Если из популяции случайно выбирают 10 человек, то каковы вероятности того, что среди них:

1. пятеро черноволосых;
2. трое рыжих;
3. семь светловолосых.

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли (для биномиального распределения), так как мы имеем фиксированное число испытаний (выбор 10 человек), каждое испытание имеет два возможных исхода (например, человек черноволосый или нет), и вероятность успеха постоянна.

Формула Бернулли: \(P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\), где:

• \(n\) – общее количество испытаний (выбранных людей), \(n=10\).
• \(k\) – количество "успехов" (людей с определенным цветом волос).
• \(p\) – вероятность "успеха" (вероятность встретить человека с определенным цветом волос).
• \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) – число сочетаний из \(n\) по \(k\).

1) Пятеро черноволосых:

• Вероятность встретить черноволосого человека: \(p_ч = 0,3\).
• Количество черноволосых: \(k = 5\).

\[P(X=5) = C_{10}^5 \cdot (0,3)^5 \cdot (1-0,3)^{10-5}\] \[P(X=5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} \cdot (0,3)^5 \cdot (0,7)^5\] \[P(X=5) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0,00243 \cdot 0,16807\] \[P(X=5) = 252 \cdot 0,00243 \cdot 0,16807\] \[P(X=5) \approx 0,0617\]

2) Трое рыжих:

• Вероятность встретить рыжего человека: \(p_р = 0,5\).
• Количество рыжих: \(k = 3\).

\[P(X=3) = C_{10}^3 \cdot (0,5)^3 \cdot (1-0,5)^{10-3}\] \[P(X=3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^7\] \[P(X=3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0,5)^{10}\] \[P(X=3) = 120 \cdot 0,0009765625\] \[P(X=3) \approx 0,1172\]

3) Семь светловолосых:

• Вероятность встретить светловолосого человека: \(p_с = 0,2\).
• Количество светловолосых: \(k = 7\).

\[P(X=7) = C_{10}^7 \cdot (0,2)^7 \cdot (1-0,2)^{10-7}\] \[P(X=7) = \frac{10!}{7!(10-7)!} \cdot (0,2)^7 \cdot (0,8)^3\] \[P(X=7) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0,0000128 \cdot 0,512\] \[P(X=7) = 120 \cdot 0,0000128 \cdot 0,512\] \[P(X=7) \approx 0,000786\]

Ответ:

1. Вероятность того, что среди выбранных будет пятеро черноволосых, примерно 0,0617.
2. Вероятность того, что среди выбранных будет трое рыжих, примерно 0,1172.
3. Вероятность того, что среди выбранных будет семь светловолосых, примерно 0,000786.

2.2

Считается, что вакцина формирует иммунитет против полиомиелита в 99.99% случаев. Предположим, что вакцинировалось 10000 человек. Каково ожидаемое число людей, не приобретших иммунитет? Какова вероятность того, что иммунитет не приобрели 5 человек? Какова вероятность того, что иммунитет не приобрели менее 2 человек?

Решение:

Обозначим:

• \(n\) – общее количество вакцинированных людей, \(n = 10000\).
• \(p\) – вероятность того, что вакцина не сформирует иммунитет.

Вероятность формирования иммунитета: \(P(\text{иммунитет}) = 0,9999\).

Следовательно, вероятность того, что иммунитет не сформируется: \(p = 1 - 0,9999 = 0,0001\).

1) Ожидаемое число людей, не приобретших иммунитет:

Ожидаемое число (математическое ожидание) для биномиального распределения вычисляется по формуле: \(E(X) = n \cdot p\).

\[E(X) = 10000 \cdot 0,0001\] \[E(X) = 1\]

Ответ: Ожидаемое число людей, не приобретших иммунитет, составляет 1 человек.

2) Вероятность того, что иммунитет не приобрели 5 человек:

Здесь мы используем формулу Бернулли (биномиальное распределение), так как \(n\) достаточно велико, а \(p\) очень мало, можно также рассмотреть аппроксимацию распределением Пуассона. Однако, для точности, используем биномиальное распределение.

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(n = 10000\), \(k = 5\), \(p = 0,0001\).

\[P(X=5) = C_{10000}^5 \cdot (0,0001)^5 \cdot (1-0,0001)^{10000-5}\] \[P(X=5) = \frac{10000!}{5!(10000-5)!} \cdot (0,0001)^5 \cdot (0,9999)^{9995}\]

Вычисление \(C_{10000}^5\):

\[C_{10000}^5 = \frac{10000 \cdot 9999 \cdot 9998 \cdot 9997 \cdot 9996}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \approx 8,33 \cdot 10^{16}\]

Вычисление \((0,0001)^5 = (10^{-4})^5 = 10^{-20}\)

Вычисление \((0,9999)^{9995}\): это значение близко к \(e^{-1}\) (так как \(n \cdot p = 1\), и \((1-p)^n \approx e^{-np}\)).

Для распределения Пуассона с параметром \(\lambda = n \cdot p = 10000 \cdot 0,0001 = 1\), вероятность \(P(X=k)\) вычисляется как:

\[P(X=k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}\]

Для \(k=5\):

\[P(X=5) = \frac{1^5 \cdot e^{-1}}{5!}\] \[P(X=5) = \frac{1 \cdot e^{-1}}{120}\] \[P(X=5) \approx \frac{0,367879}{120}\] \[P(X=5) \approx 0,003066\]

Использование биномиального распределения даст очень близкий результат, но требует более сложных вычислений. В таких случаях аппроксимация Пуассона является стандартной практикой.

Ответ: Вероятность того, что иммунитет не приобрели 5 человек, примерно 0,003066.

3) Вероятность того, что иммунитет не приобрели менее 2 человек:

Это означает, что иммунитет не приобрели 0 человек или 1 человек. То есть, нам нужно найти \(P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)\).

Используем распределение Пуассона с \(\lambda = 1\).

Для \(k=0\):

\[P(X=0) = \frac{1^0 \cdot e^{-1}}{0!}\] \[P(X=0) = \frac{1 \cdot e^{-1}}{1}\] \[P(X=0) = e^{-1} \approx 0,367879\]

Для \(k=1\):

\[P(X=1) = \frac{1^1 \cdot e^{-1}}{1!}\] \[P(X=1) = \frac{1 \cdot e^{-1}}{1}\] \[P(X=1) = e^{-1} \approx 0,367879\]

Теперь сложим эти вероятности:

\[P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)\] \[P(X < 2) \approx 0,367879 + 0,367879\] \[P(X < 2) \approx 0,735758\]

Ответ: Вероятность того, что иммунитет не приобрели менее 2 человек, примерно 0,735758.