Задача 1.
Используя рисунок, укажите номера верных утверждений:
На рисунке изображен треугольник KMN. В нем проведены отрезки MP, KL и NH.
Из рисунка видно, что:
- Отрезок MP делит сторону KN на две части: KP = 2 см и PN = 25/2 см. Так как KP не равно PN, MP не является медианой. Угол KPM не равен 90 градусам, поэтому MP не является высотой. Также нет информации о делении угла KMN, поэтому MP не является биссектрисой.
- Отрезок KL перпендикулярен стороне MN (угол KLP = 90 градусов). Значит, KL является высотой. Также KL делит сторону MN на две части, но нет информации о равенстве этих частей, поэтому KL не является медианой. Нет информации о делении угла MKN, поэтому KL не является биссектрисой.
- Отрезок NH делит угол KNM на две равные части (показано дугами). Значит, NH является биссектрисой. Также NH делит сторону KM на две части, но нет информации о равенстве этих частей, поэтому NH не является медианой. Угол NHM не равен 90 градусам, поэтому NH не является высотой.
Рассмотрим предложенные утверждения:
- MP — биссектриса треугольника KMN. (Неверно)
- MP — медиана треугольника KMN. (Неверно)
- MP — высота треугольника KMN. (Неверно)
- KL — биссектриса треугольника KMN. (Неверно)
- KL — медиана треугольника KMN. (Неверно)
- KL — высота треугольника KMN. (Верно, так как \( \angle KLP = 90^\circ \) )
- NH — биссектриса треугольника KMN. (Верно, так как делит угол KNM пополам)
- NH — медиана треугольника KMN. (Неверно)
- NH — высота треугольника KMN. (Неверно)
Ответ: 6, 7.
Задача 1.б
Используя рисунок, укажите верные утверждения:
На рисунке изображены две пересекающиеся прямые AD и BE. При их пересечении образуются углы.
Из рисунка видно, что:
- Угол AKE равен 90 градусам.
Рассмотрим предложенные утверждения:
- \( \angle AKD \) и \( \angle BKE \) — смежные углы. (Неверно, смежные углы образуются при пересечении двух прямых и имеют общую сторону, например \( \angle AKD \) и \( \angle AKB \). \( \angle AKD \) и \( \angle BKE \) являются вертикальными углами.)
- \( \angle BKD \) и \( \angle AKE \) — вертикальные углы. (Верно, вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и равны между собой.)
- \( \angle AKE \) — тупой угол. (Неверно, \( \angle AKE = 90^\circ \), это прямой угол.)
- \( \angle BKE \) — прямой угол. (Верно, так как \( \angle AKE = 90^\circ \), а \( \angle BKE \) и \( \angle AKE \) являются смежными углами, то \( \angle BKE = 180^\circ - \angle AKE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Также \( \angle BKE \) и \( \angle AKD \) являются вертикальными углами, а \( \angle AKD \) и \( \angle AKE \) являются смежными, поэтому \( \angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Тогда \( \angle BKE = \angle AKD = 90^\circ \).)
Ответ: 2, 4.
Задача 2.
Дано: \( \angle PHK = \angle PHM \), \( KH = MH \).
Доказать, что \( \triangle PHM = \triangle PHK \).
Доказательство:
Рассмотрим треугольники \( \triangle PHM \) и \( \triangle PHK \).
У них:
- Сторона PH — общая.
- \( \angle PHK = \angle PHM \) (дано).
- \( KH = MH \) (дано).
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
В данном случае, у нас есть две стороны (PH и KH в \( \triangle PHK \), PH и MH в \( \triangle PHM \)) и угол между ними (угол \( \angle PHK \) в \( \triangle PHK \), угол \( \angle PHM \) в \( \triangle PHM \)).
Таким образом, \( \triangle PHM = \triangle PHK \).
Что и требовалось доказать.
Задача 3.
Дано: \( NM = NK \), \( \angle PKH = 100^\circ \), NH — биссектриса.
Найти: а) \( \angle NKH \); б) \( \angle NMK \), \( \angle MHK \).
Решение:
1. Найдем \( \angle NKH \).
Углы \( \angle PKH \) и \( \angle NKH \) являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой PK.
Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).
Значит, \( \angle NKH + \angle PKH = 180^\circ \).
\( \angle NKH = 180^\circ - \angle PKH \).
\( \angle NKH = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
2. Найдем \( \angle NMK \) и \( \angle MHK \).
По условию, \( NM = NK \), значит, треугольник \( \triangle NMK \) является равнобедренным с основанием MK.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle NMK = \angle NKM \).
Мы нашли \( \angle NKH = 80^\circ \). Так как точка H лежит на стороне MK, то \( \angle NKM = \angle NKH = 80^\circ \).
Следовательно, \( \angle NMK = 80^\circ \).
NH — биссектриса угла \( \angle MNK \). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
Значит, NH перпендикулярна MK, то есть \( \angle NHM = \angle NHK = 90^\circ \).
Рассмотрим треугольник \( \triangle NHK \).
Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).
\( \angle NHK + \angle NKH + \angle HNK = 180^\circ \).
\( 90^\circ + 80^\circ + \angle HNK = 180^\circ \).
\( 170^\circ + \angle HNK = 180^\circ \).
\( \angle HNK = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ \).
Так как NH — биссектриса, то \( \angle MNH = \angle HNK = 10^\circ \).
Теперь найдем \( \angle MHK \).
Рассмотрим треугольник \( \triangle MHK \).
Угол \( \angle MHK \) является частью угла \( \angle NMK \). Но это неверно. \( \angle MHK \) - это угол в треугольнике MHK.
Мы знаем, что NH является высотой, поэтому \( \angle NHK = 90^\circ \).
Угол \( \angle MHK \) - это угол \( \angle H \) в треугольнике \( \triangle MHK \). Но H - это точка на стороне MK, а не вершина треугольника MHK.
Вероятно, имелся в виду угол \( \angle NMH \) или \( \angle KNH \).
Если имеется в виду угол \( \angle NHM \), то он равен \( 90^\circ \).
Если имеется в виду угол \( \angle HMK \), то это тот же угол, что и \( \angle NMK \), то есть \( 80^\circ \).
Давайте перепроверим, что именно нужно найти. "Найти: б) \( \angle NMK \), \( \angle MHK \)."
Если \( \angle MHK \) - это угол \( \angle M \) в треугольнике \( \triangle MHK \), то это \( \angle NMK \), который мы уже нашли.
Если \( \angle MHK \) - это угол \( \angle H \) в треугольнике \( \triangle MHK \), то это \( \angle NHK \), который равен \( 90^\circ \).
Предположим, что \( \angle MHK \) - это угол \( \angle M \) в треугольнике \( \triangle NMK \), то есть \( \angle NMK \).
Тогда:
а) \( \angle NKH = 80^\circ \).
б) \( \angle NMK = 80^\circ \).
И \( \angle NHK = 90^\circ \).
Если же \( \angle MHK \) - это угол \( \angle M \) в треугольнике \( \triangle NMH \), то это \( \angle NMH \), который равен \( \angle NMK = 80^\circ \).
Давайте считать, что \( \angle MHK \) - это угол \( \angle NHK \), который равен \( 90^\circ \).
Ответ:
а) \( \angle NKH = 80^\circ \).
б) \( \angle NMK = 80^\circ \), \( \angle MHK = 90^\circ \).
Задача 4.
На биссектрисе LP равнобедренного треугольника KLM с основанием KM отмечена точка O. Докажите, что треугольники KOP и MOP равны.
Дано:
- Треугольник KLM — равнобедренный.
- Основание KM.
- LP — биссектриса угла \( \angle KLM \).
- Точка O лежит на LP.
Доказать: \( \triangle KOP = \triangle MOP \).
Доказательство:
1. Так как треугольник KLM равнобедренный с основанием KM, то стороны LK и LM равны: \( LK = LM \).
2. LP — биссектриса угла \( \angle KLM \). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
3. Поскольку LP является медианой, точка P делит основание KM пополам, то есть \( KP = PM \).
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle KOP \) и \( \triangle MOP \).
У них:
- Сторона OP — общая.
- \( KP = PM \) (доказано выше, так как LP — медиана).
- Угол \( \angle KPO = \angle MPO = 90^\circ \) (так как LP — высота).
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Таким образом, \( \triangle KOP = \triangle MOP \).
Что и требовалось доказать.