Решение Задачи про Теплицу Александра Никаноровича

Вот решение задачи с подробными объяснениями, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь. Задание 2. Александр Никанорович решил построить на дачном участке теплицу длиной 5,5 м. Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Александр Никанорович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5,3 м каждая и покрытие для обтяжки. Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рисунке прямоугольником \(BCC_1B_1\), где точки \(B\), \(O\) и \(C\) делят отрезок \(AD\) на четыре равные части. Внутри теплицы Александр Никанорович планирует сделать три грядки по длине теплицы – одну центральную широкую грядку и две узкие грядки по краям. Между грядками будут дорожки шириной 50 см, для которых необходимо купить тротуарную плитку размером 25 см х 25 см. 1. Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между соседними дугами было не более 70 см? Решение: Длина теплицы составляет 5,5 м. Расстояние между соседними дугами должно быть не более 70 см, что равно 0,7 м. Чтобы найти количество промежутков между дугами, нужно разделить общую длину теплицы на максимальное расстояние между дугами: \[ \text{Количество промежутков} = \frac{\text{Длина теплицы}}{\text{Максимальное расстояние между дугами}} \] \[ \text{Количество промежутков} = \frac{5,5 \text{ м}}{0,7 \text{ м}} \approx 7,857 \] Так как количество промежутков должно быть целым числом, и расстояние между дугами не должно превышать 0,7 м, то нужно взять 8 промежутков. Если у нас 8 промежутков, то количество дуг будет на 1 больше, чем количество промежутков (потому что дуги стоят по краям и между промежутками). \[ \text{Количество дуг} = \text{Количество промежутков} + 1 \] \[ \text{Количество дуг} = 8 + 1 = 9 \] Таким образом, нужно заказать 9 дуг. Ответ: 9 2. Сколько упаковок плитки необходимо купить для дорожек между грядками, она продается в упаковках по 14 штук? Решение: Ширина дорожек между грядками составляет 50 см, что равно 0,5 м. Длина теплицы составляет 5,5 м. В теплице две дорожки (между центральной и узкими грядками). Площадь одной дорожки: \[ S_{\text{дорожки}} = \text{Ширина дорожки} \times \text{Длина теплицы} \] \[ S_{\text{дорожки}} = 0,5 \text{ м} \times 5,5 \text{ м} = 2,75 \text{ м}^2 \] Общая площадь двух дорожек: \[ S_{\text{общая дорожек}} = 2 \times S_{\text{дорожки}} = 2 \times 2,75 \text{ м}^2 = 5,5 \text{ м}^2 \] Размер одной плитки 25 см х 25 см, что равно 0,25 м х 0,25 м. Площадь одной плитки: \[ S_{\text{плитки}} = 0,25 \text{ м} \times 0,25 \text{ м} = 0,0625 \text{ м}^2 \] Количество плиток, необходимых для покрытия дорожек: \[ \text{Количество плиток} = \frac{S_{\text{общая дорожек}}}{S_{\text{плитки}}} \] \[ \text{Количество плиток} = \frac{5,5 \text{ м}^2}{0,0625 \text{ м}^2} = 88 \] Плитка продается в упаковках по 14 штук. Количество упаковок: \[ \text{Количество упаковок} = \frac{\text{Количество плиток}}{\text{Количество плиток в упаковке}} \] \[ \text{Количество упаковок} = \frac{88}{14} \approx 6,28 \] Так как нельзя купить часть упаковки, нужно округлить в большую сторону, чтобы хватило плитки. \[ \text{Количество упаковок} = 7 \] Ответ: 7 3. Найдите ширину теплицы. Ответ дайте в метрах с точностью до сотых. Решение: Каркас теплицы состоит из дуг в форме полуокружностей. Длина каждой дуги составляет 5,3 м. Длина полуокружности равна половине длины окружности: \[ L_{\text{полуокружности}} = \frac{1}{2} \times 2 \pi R = \pi R \] где \(R\) - радиус полуокружности. Ширина теплицы (отрезок \(AD\)) равна диаметру этой полуокружности, то есть \(2R\). Из формулы длины полуокружности: \[ 5,3 \text{ м} = \pi R \] Найдем радиус \(R\): \[ R = \frac{5,3}{\pi} \] Ширина теплицы \(AD = 2R\): \[ AD = 2 \times \frac{5,3}{\pi} = \frac{10,6}{\pi} \] Используем значение \(\pi \approx 3,14159\). \[ AD \approx \frac{10,6}{3,14159} \approx 3,3739 \text{ м} \] Округлим до сотых: \[ AD \approx 3,37 \text{ м} \] Ответ: 3,37 4. Найдите ширину узкой грядки, если ширина центральной грядки относится к ширине узкой грядки как 3:2. Ответ дайте в сантиметрах. Результат округлите до десятков. Решение: Ширина теплицы \(AD \approx 3,3739 \text{ м}\) (используем более точное значение для промежуточных расчетов). Ширина дорожек между грядками составляет 50 см, что равно 0,5 м. В теплице две узкие грядки (по краям) и одна центральная широкая грядка. Между ними две дорожки. Пусть ширина узкой грядки будет \(x\). Тогда ширина центральной грядки будет \(y\). По условию, отношение ширины центральной грядки к ширине узкой грядки равно 3:2, то есть: \[ \frac{y}{x} = \frac{3}{2} \implies y = \frac{3}{2}x \] Общая ширина теплицы складывается из двух узких грядок, одной центральной грядки и двух дорожек: \[ \text{Ширина теплицы} = x + y + x + \text{Ширина дорожки} + \text{Ширина дорожки} \] \[ \text{Ширина теплицы} = 2x + y + 2 \times 0,5 \text{ м} \] \[ \text{Ширина теплицы} = 2x + y + 1 \text{ м} \] Подставим \(y = \frac{3}{2}x\): \[ 3,3739 = 2x + \frac{3}{2}x + 1 \] \[ 3,3739 - 1 = 2x + 1,5x \] \[ 2,3739 = 3,5x \] Найдем \(x\): \[ x = \frac{2,3739}{3,5} \approx 0,678257 \text{ м} \] Переведем в сантиметры: \[ x \approx 0,678257 \times 100 \text{ см} \approx 67,8257 \text{ см} \] Результат округлить до десятков. Это означает, что нужно округлить до ближайшего числа, кратного 10. 67,8257 см ближе к 70 см, чем к 60 см. Ответ: 70 5. Найдите высоту входа в теплицу. Ответ дайте в сантиметрах с точностью до целых. Решение: Вход в теплицу представляет собой прямоугольник \(BCC_1B_1\). Точки \(B\), \(O\) и \(C\) делят отрезок \(AD\) на четыре равные части. Это означает, что \(AB = BO = OC = CD\). Ширина теплицы \(AD = 2R\). Значит, \(AB = BO = OC = CD = \frac{AD}{4} = \frac{2R}{4} = \frac{R}{2}\). Ширина входа \(BC\) равна \(BO + OC = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R\). Высота входа \(BB_1\) или \(CC_1\) - это перпендикуляр, опущенный из точки \(B_1\) или \(C_1\) на отрезок \(AD\). Точки \(B_1\) и \(C_1\) лежат на дуге полуокружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром полуокружности (точка \(O\)), точкой \(C\) и точкой \(C_1\). Гипотенуза этого треугольника - это радиус полуокружности \(OC_1 = R\). Один катет - это расстояние от центра \(O\) до точки \(C\), то есть \(OC = \frac{R}{2}\). Второй катет - это высота входа \(CC_1\). По теореме Пифагора: \[ OC_1^2 = OC^2 + CC_1^2 \] \[ R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + CC_1^2 \] \[ R^2 = \frac{R^2}{4} + CC_1^2 \] \[ CC_1^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} \] \[ CC_1^2 = \frac{4R^2 - R^2}{4} \] \[ CC_1^2 = \frac{3R^2}{4} \] \[ CC_1 = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2} \] Мы знаем, что \(R = \frac{5,3}{\pi}\). \[ CC_1 = \frac{5,3}{\pi} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] Используем \(\pi \approx 3,14159\) и \(\sqrt{3} \approx 1,73205\). \[ CC_1 \approx \frac{5,3}{3,14159} \times \frac{1,73205}{2} \] \[ CC_1 \approx 1,6870 \times 0,866025 \] \[ CC_1 \approx 1,4615 \text{ м} \] Переведем в сантиметры: \[ CC_1 \approx 1,4615 \times 100 \text{ см} \approx 146,15 \text{ см} \] Округлим до целых: \[ CC_1 \approx 146 \text{ см} \] Ответ: 146