Решение задачи по кинематике сложного движения точки

Решим задачу по кинематике сложного движения точки. Дано: Уравнение вращения тела 1: \(\varphi_e = 4t - t^2\) рад Уравнение относительного движения точки M: \(S_r = 10\pi \cos(\pi t/3)\) см Момент времени: \(t_1 = 1\) с Расстояние: \(b = 10\) см Радиус: \(R = 20\) см Требуется определить модуль и направление вектора абсолютной скорости (\(\vec{V}\)) и абсолютного ускорения (\(\vec{a}\)) точки M для момента времени \(t_1\). Решение: 1. Определим параметры переносного движения. Угловая скорость переносного вращения: \[\omega_e = \frac{d\varphi_e}{dt} = \frac{d(4t - t^2)}{dt} = 4 - 2t\] Угловое ускорение переносного вращения: \[\varepsilon_e = \frac{d\omega_e}{dt} = \frac{d(4 - 2t)}{dt} = -2\] В момент времени \(t_1 = 1\) с: \[\omega_e(1) = 4 - 2 \cdot 1 = 2 \text{ рад/с}\] \[\varepsilon_e(1) = -2 \text{ рад/с}^2\] Радиус-вектор точки M относительно оси вращения (точка O на рисунке) равен \(R = 20\) см. Скорость переносного движения: \[V_e = \omega_e \cdot R = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см/с}\] Направление \(V_e\) перпендикулярно радиусу \(R\) и направлено по касательной к окружности, по которой движется точка M в переносном движении. 2. Определим параметры относительного движения. Уравнение относительного движения: \(S_r = 10\pi \cos(\pi t/3)\) см Относительная скорость: \[V_r = \frac{dS_r}{dt} = \frac{d(10\pi \cos(\pi t/3))}{dt} = 10\pi \left(-\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{10\pi^2}{3} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] Относительное ускорение: \[a_r = \frac{dV_r}{dt} = \frac{d\left(-\frac{10\pi^2}{3} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right)}{dt} = -\frac{10\pi^2}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{10\pi^3}{9} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] В момент времени \(t_1 = 1\) с: \[V_r(1) = -\frac{10\pi^2}{3} \sin\left(\frac{\pi \cdot 1}{3}\right) = -\frac{10\pi^2}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{10\pi^2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{5\pi^2\sqrt{3}}{3} \approx -28.5 \text{ см/с}\] \[a_r(1) = -\frac{10\pi^3}{9} \cos\left(\frac{\pi \cdot 1}{3}\right) = -\frac{10\pi^3}{9} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{10\pi^3}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5\pi^3}{9} \approx -17.3 \text{ см/с}^2\] Направление \(V_r\) и \(a_r\) вдоль радиуса \(R\). Знак минус означает, что они направлены к центру окружности. 3. Определим ускорение Кориолиса. \[a_k = 2 \omega_e V_r\] \[a_k(1) = 2 \cdot 2 \cdot \left|-\frac{5\pi^2\sqrt{3}}{3}\right| = 4 \cdot \frac{5\pi^2\sqrt{3}}{3} = \frac{20\pi^2\sqrt{3}}{3} \approx 114 \text{ см/с}^2\] Направление \(a_k\) определяется правилом Жуковского: поворот вектора \(V_r\) на 90 градусов в направлении \(\omega_e\). В данном случае \(\omega_e\) направлена против часовой стрелки (положительное направление \(\varphi_e\)), а \(V_r\) направлена к центру. Поворачивая \(V_r\) на 90 градусов против часовой стрелки, получаем, что \(a_k\) направлено перпендикулярно радиусу, в сторону, противоположную \(V_e\). 4. Определим абсолютную скорость. \[\vec{V} = \vec{V_e} + \vec{V_r}\] Векторы \(\vec{V_e}\) и \(\vec{V_r}\) перпендикулярны друг другу. \(\vec{V_e}\) направлен по касательной, \(\vec{V_r}\) - по радиусу. Модуль абсолютной скорости: \[V = \sqrt{V_e^2 + V_r^2} = \sqrt{40^2 + \left(-\frac{5\pi^2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1600 + \frac{25\pi^4 \cdot 3}{9}} = \sqrt{1600 + \frac{25\pi^4}{3}} \approx \sqrt{1600 + 819.5} = \sqrt{2419.5} \approx 49.2 \text{ см/с}\] Направление абсолютной скорости: Угол \(\alpha\) между \(\vec{V}\) и \(\vec{V_e}\) (или касательной): \[\tan \alpha = \frac{|V_r|}{|V_e|} = \frac{28.5}{40} \approx 0.7125\] \[\alpha = \arctan(0.7125) \approx 35.4^\circ\] Вектор \(\vec{V}\) направлен под углом \(\alpha\) к касательной, в сторону, противоположную направлению \(V_r\) (то есть от центра). 5. Определим абсолютное ускорение. \[\vec{a} = \vec{a_e} + \vec{a_r} + \vec{a_k}\] Переносное ускорение \(\vec{a_e}\) состоит из нормальной и тангенциальной составляющих: \[a_{e,n} = \omega_e^2 R = 2^2 \cdot 20 = 4 \cdot 20 = 80 \text{ см/с}^2\] Направлено к центру вращения. \[a_{e,t} = \varepsilon_e R = (-2) \cdot 20 = -40 \text{ см/с}^2\] Направлено по касательной, против направления \(\omega_e\). Разложим векторы по осям. Пусть ось X направлена по радиусу от центра, ось Y - по касательной в направлении \(V_e\). Тогда: \(\vec{a_r}\) направлено к центру, то есть против оси X: \(a_{r,x} = -a_r = -(-17.3) = 17.3\) см/с\(^2\). \(\vec{a_{e,n}}\) направлено к центру, то есть против оси X: \(a_{e,n,x} = -80\) см/с\(^2\). \(\vec{a_{e,t}}\) направлено против оси Y: \(a_{e,t,y} = -40\) см/с\(^2\). \(\vec{a_k}\) направлено перпендикулярно радиусу, против \(V_e\), то есть против оси Y: \(a_{k,y} = -114\) см/с\(^2\). Суммарные проекции ускорения: \[a_x = a_{r,x} + a_{e,n,x} = 17.3 - 80 = -62.7 \text{ см/с}^2\] \[a_y = a_{e,t,y} + a_{k,y} = -40 - 114 = -154 \text{ см/с}^2\] Модуль абсолютного ускорения: \[a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-62.7)^2 + (-154)^2} = \sqrt{3931.29 + 23716} = \sqrt{27647.29} \approx 166.3 \text{ см/с}^2\] Направление абсолютного ускорения: Угол \(\beta\) между вектором \(\vec{a}\) и отрицательным направлением оси X (к центру): \[\tan \beta = \frac{|a_y|}{|a_x|} = \frac{154}{62.7} \approx 2.456\] \[\beta = \arctan(2.456) \approx 67.8^\circ\] Вектор \(\vec{a}\) направлен в третьем квадранте (если центр - начало координат, а оси X и Y направлены от центра и по касательной соответственно). То есть, он направлен к центру и против направления \(V_e\). Ответ: Модуль абсолютной скорости: \(V \approx 49.2\) см/с. Направление абсолютной скорости: под углом примерно \(35.4^\circ\) к касательной, направленной по \(V_e\), в сторону от центра. Модуль абсолютного ускорения: \(a \approx 166.3\) см/с\(^2\). Направление абсолютного ускорения: под углом примерно \(67.8^\circ\) к радиусу (направленному к центру), в сторону, противоположную направлению \(V_e\).