Решение задачи 2.3: Нормальное распределение веса рыбы

Задача 2.3. Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону. Среднее значение веса одной рыбы равно 375 г, а стандартное отклонение 25 г. Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы: 1) не более 378 г; 2) больше 370 г; 3) от 365 до 380 г. Решение: Обозначим случайную величину \(X\) как массу пойманной рыбы. По условию задачи, \(X\) подчиняется нормальному закону распределения с параметрами: Математическое ожидание (среднее значение) \(\mu = 375\) г. Стандартное отклонение \(\sigma = 25\) г. Для решения задачи будем использовать стандартизацию случайной величины. Стандартизованная случайная величина \(Z\) вычисляется по формуле: \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\] Для нахождения вероятностей будем использовать функцию распределения стандартного нормального закона \(\Phi(z)\), значения которой можно найти в таблице значений функции Лапласа. 1) Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы не более 378 г. Это означает, что нужно найти \(P(X \le 378)\). Сначала стандартизуем значение \(X = 378\): \[Z_1 = \frac{378 - 375}{25} = \frac{3}{25} = 0.12\] Теперь найдем вероятность: \[P(X \le 378) = P(Z \le 0.12) = \Phi(0.12)\] По таблице значений функции Лапласа: \(\Phi(0.12) \approx 0.5478\) Ответ: Вероятность того, что масса одной пойманной рыбы не более 378 г, составляет примерно 0.5478. 2) Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы больше 370 г. Это означает, что нужно найти \(P(X > 370)\). Сначала стандартизуем значение \(X = 370\): \[Z_2 = \frac{370 - 375}{25} = \frac{-5}{25} = -0.2\] Теперь найдем вероятность: \[P(X > 370) = P(Z > -0.2)\] Используем свойство функции распределения стандартного нормального закона: \(P(Z > z) = 1 - P(Z \le z)\) и \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\). \[P(Z > -0.2) = 1 - P(Z \le -0.2) = 1 - \Phi(-0.2)\] \[1 - \Phi(-0.2) = 1 - (1 - \Phi(0.2)) = \Phi(0.2)\] По таблице значений функции Лапласа: \(\Phi(0.2) \approx 0.5793\) Ответ: Вероятность того, что масса одной пойманной рыбы больше 370 г, составляет примерно 0.5793. 3) Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы от 365 до 380 г. Это означает, что нужно найти \(P(365 \le X \le 380)\). Сначала стандартизуем оба значения: Для \(X_1 = 365\): \[Z_3 = \frac{365 - 375}{25} = \frac{-10}{25} = -0.4\] Для \(X_2 = 380\): \[Z_4 = \frac{380 - 375}{25} = \frac{5}{25} = 0.2\] Теперь найдем вероятность: \[P(365 \le X \le 380) = P(-0.4 \le Z \le 0.2)\] Используем свойство: \(P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)\). \[P(-0.4 \le Z \le 0.2) = \Phi(0.2) - \Phi(-0.4)\] Используем свойство \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\): \[\Phi(0.2) - \Phi(-0.4) = \Phi(0.2) - (1 - \Phi(0.4)) = \Phi(0.2) + \Phi(0.4) - 1\] По таблице значений функции Лапласа: \(\Phi(0.2) \approx 0.5793\) \(\Phi(0.4) \approx 0.6554\) Подставляем значения: \[0.5793 + 0.6554 - 1 = 1.2347 - 1 = 0.2347\] Ответ: Вероятность того, что масса одной пойманной рыбы от 365 до 380 г, составляет примерно 0.2347.