Решение задачи: Найти матрицу X, если 2A - X = B

Хорошо, я решу задачи из всех трех билетов. Билет №3 1. Найти матрицу \(X\), если \(2A - X = B\), где \[A = \begin{pmatrix} 3 & -7 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 9 & -5 \\ 3 & 7 & -1 \end{pmatrix}\] Решение: Из уравнения \(2A - X = B\) выразим матрицу \(X\): \(X = 2A - B\) Сначала найдем \(2A\): \[2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & -7 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot (-7) & 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -14 & 10 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}\] Теперь найдем \(X = 2A - B\): \[X = \begin{pmatrix} 6 & -14 & 10 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 9 & -5 \\ 3 & 7 & -1 \end{pmatrix}\] \[X = \begin{pmatrix} 6 - (-2) & -14 - 9 & 10 - (-5) \\ 2 - 3 & 0 - 7 & 4 - (-1) \end{pmatrix}\] \[X = \begin{pmatrix} 6 + 2 & -14 - 9 & 10 + 5 \\ 2 - 3 & 0 - 7 & 4 + 1 \end{pmatrix}\] \[X = \begin{pmatrix} 8 & -23 & 15 \\ -1 & -7 & 5 \end{pmatrix}\] Ответ: \[X = \begin{pmatrix} 8 & -23 & 15 \\ -1 & -7 & 5 \end{pmatrix}\] 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(1, -5, 3)\), \(B(0, -2, 4)\) и \(C(1, -1, 0)\). Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три точки \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\) и \(C(x_C, y_C, z_C)\), можно найти с помощью определителя: \[\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end{vmatrix} = 0\] Подставим координаты точек \(A(1, -5, 3)\), \(B(0, -2, 4)\) и \(C(1, -1, 0)\): \(x_A = 1, y_A = -5, z_A = 3\) \(x_B = 0, y_B = -2, z_B = 4\) \(x_C = 1, y_C = -1, z_C = 0\) Вычислим векторы: \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (0 - 1, -2 - (-5), 4 - 3) = (-1, 3, 1)\) \(\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (1 - 1, -1 - (-5), 0 - 3) = (0, 4, -3)\) Теперь составим определитель: \[\begin{vmatrix} x - 1 & y - (-5) & z - 3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0\] \[\begin{vmatrix} x - 1 & y + 5 & z - 3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0\] Раскроем определитель по первой строке: \((x - 1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} - (y + 5) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} + (z - 3) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 0\) Вычислим миноры: \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-3) - 1 \cdot 4 = -9 - 4 = -13\) \(\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-3) - 1 \cdot 0 = 3 - 0 = 3\) \(\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 4 - 3 \cdot 0 = -4 - 0 = -4\) Подставим значения: \((x - 1) \cdot (-13) - (y + 5) \cdot 3 + (z - 3) \cdot (-4) = 0\) \(-13x + 13 - 3y - 15 - 4z + 12 = 0\) \(-13x - 3y - 4z + 13 - 15 + 12 = 0\) \(-13x - 3y - 4z + 10 = 0\) Умножим на \(-1\) для удобства: \(13x + 3y + 4z - 10 = 0\) Ответ: Уравнение плоскости: \(13x + 3y + 4z - 10 = 0\). 3. Найти предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2}\). Решение: Это предел вида \(\frac{0}{0}\), поэтому можно использовать первый замечательный предел \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\). Преобразуем выражение: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{x} \right)^2\] Чтобы применить замечательный предел, нам нужно, чтобы в знаменателе было \(4x\). Умножим и разделим на \(4\): \[\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{x} \right)^2 = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 \right)^2\] \[= \lim_{x \to 0} \left( 4 \cdot \frac{\sin 4x}{4x} \right)^2\] Поскольку \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1\), то: \[= (4 \cdot 1)^2 = 4^2 = 16\] Ответ: Предел равен \(16\). 4. Найти производную функции \(y = 2^{-\text{arctg } x}\). Решение: Это сложная функция вида \(a^u\), где \(a = 2\) и \(u = -\text{arctg } x\). Формула для производной \(a^u\) по \(x\) такова: \((a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'\). В нашем случае: \(u = -\text{arctg } x\) Найдем производную \(u'\): \(u' = (-\text{arctg } x)' = -(\text{arctg } x)'\) Известно, что \((\text{arctg } x)' = \frac{1}{1 + x^2}\). Значит, \(u' = -\frac{1}{1 + x^2}\). Теперь подставим это в формулу для производной \(y'\): \(y' = 2^{-\text{arctg } x} \cdot \ln 2 \cdot \left( -\frac{1}{1 + x^2} \right)\) \(y' = -\frac{2^{-\text{arctg } x} \cdot \ln 2}{1 + x^2}\) Ответ: Производная функции \(y' = -\frac{2^{-\text{arctg } x} \cdot \ln 2}{1 + x^2}\). Билет №4 1. Решить систему уравнений: \[\begin{cases} 3x + 2y + z = 5 \\ 2x + 3y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 11 \end{cases}\] Решение: Будем решать методом исключения. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить \(z\): \((3x + 2y + z) - (2x + 3y + z) = 5 - 1\) \(3x + 2y + z - 2x - 3y - z = 4\) \(x - y = 4\) (Уравнение 4) Умножим первое уравнение на 3: \(3 \cdot (3x + 2y + z) = 3 \cdot 5\) \(9x + 6y + 3z = 15\) Вычтем из полученного уравнения третье уравнение: \((9x + 6y + 3z) - (2x + y + 3z) = 15 - 11\) \(9x + 6y + 3z - 2x - y - 3z = 4\) \(7x + 5y = 4\) (Уравнение 5) Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: \[\begin{cases} x - y = 4 \\ 7x + 5y = 4 \end{cases}\] Из первого уравнения выразим \(x\): \(x = y + 4\) Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение: \(7(y + 4) + 5y = 4\) \(7y + 28 + 5y = 4\) \(12y + 28 = 4\) \(12y = 4 - 28\) \(12y = -24\) \(y = \frac{-24}{12}\) \(y = -2\) Теперь найдем \(x\), подставив \(y = -2\) в \(x = y + 4\): \(x = -2 + 4\) \(x = 2\) Наконец, найдем \(z\), подставив \(x = 2\) и \(y = -2\) в любое из исходных уравнений. Возьмем первое: \(3x + 2y + z = 5\) \(3(2) + 2(-2) + z = 5\) \(6 - 4 + z = 5\) \(2 + z = 5\) \(z = 5 - 2\) \(z = 3\) Проверим решение, подставив \(x=2, y=-2, z=3\) во второе и третье уравнения: Второе уравнение: \(2x + 3y + z = 2(2) + 3(-2) + 3 = 4 - 6 + 3 = 1\). Верно. Третье уравнение: \(2x + y + 3z = 2(2) + (-2) + 3(3) = 4 - 2 + 9 = 11\). Верно. Ответ: Решение системы: \(x = 2, y = -2, z = 3\). 2. Найти угол между плоскостями \(x + y + z - 1 = 0\) и \(2x - y - z = 0\). Решение: Угол между двумя плоскостями определяется углом между их нормальными векторами. Для первой плоскости \(P_1: x + y + z - 1 = 0\), нормальный вектор \(\vec{n_1} = (1, 1, 1)\). Для второй плоскости \(P_2: 2x - y - z = 0\), нормальный вектор \(\vec{n_2} = (2, -1, -1)\). Косинус угла \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) вычисляется по формуле: \[\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}\] где \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\) - скалярное произведение векторов, а \(||\vec{n_1}||\) и \(||\vec{n_2}||\) - их длины. Вычислим скалярное произведение: \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(-1) = 2 - 1 - 1 = 0\) Так как скалярное произведение равно \(0\), это означает, что векторы \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, угол между плоскостями равен \(90^\circ\) или \(\frac{\pi}{2}\) радиан. Если бы скалярное произведение не было равно нулю, мы бы продолжили вычисления: Длина вектора \(\vec{n_1}\): \(||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\) Длина вектора \(\vec{n_2}\): \(||\vec{n_2}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\) Тогда \(\cos \theta = \frac{|0|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = 0\). Отсюда \(\theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}\) или \(90^\circ\). Ответ: Угол между плоскостями равен \(90^\circ\) (или \(\frac{\pi}{2}\) радиан). 3. Найти предел \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{2x^2 - 7x + 5}\). Решение: Подставим \(x = 1\) в числитель и знаменатель: Числитель: \(1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\) Знаменатель: \(2(1)^2 - 7(1) + 5 = 2 - 7 + 5 = 0\) Получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\) Знаменатель: \(2x^2 - 7x + 5\). Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 7x + 5 = 0\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9\). Корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{7 \pm 3}{4}\). \(x_1 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) \(x_2 = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\) Значит, \(2x^2 - 7x + 5 = 2(x - 1)(x - \frac{5}{2}) = (x - 1)(2x - 5)\). Теперь подставим разложенные выражения в предел: \[\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(2x - 5)}\] Сократим \((x - 1)\), так как \(x \to 1\), но \(x \neq 1\): \[\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{2x - 5}\] Теперь подставим \(x = 1\): \[\frac{1 - 1}{2(1) - 5} = \frac{0}{2 - 5} = \frac{0}{-3} = 0\] Ответ: Предел равен \(0\). 4. Найти производную функции \(y = \frac{\sqrt{\log_3 x}}{\text{tg } x}\). Решение: Это производная частного \(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). Здесь \(u = \sqrt{\log_3 x}\) и \(v = \text{tg } x\). Найдем \(u'\): \(u = (\log_3 x)^{1/2}\) \(u' = \frac{1}{2} (\log_3 x)^{-1/2} \cdot (\log_3 x)'\) Известно, что \((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\). В нашем случае \(a = 3\). \((\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}\) Значит, \(u' = \frac{1}{2\sqrt{\log_3 x}} \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{1}{2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x}}\). Найдем \(v'\): \(v' = (\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\). Теперь подставим все в формулу для производной частного: \[y' = \frac{\left( \frac{1}{2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x}} \right) \cdot \text{tg } x - \sqrt{\log_3 x} \cdot \left( \frac{1}{\cos^2 x} \right)}{(\text{tg } x)^2}\] \[y' = \frac{\frac{\text{tg } x}{2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x}} - \frac{\sqrt{\log_3 x}}{\cos^2 x}}{\text{tg}^2 x}\] Можно привести к общему знаменателю в числителе: \[y' = \frac{\frac{\text{tg } x \cdot \cos^2 x - \sqrt{\log_3 x} \cdot 2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x}}{2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x} \cdot \cos^2 x}}{\text{tg}^2 x}\] \[y' = \frac{\text{tg } x \cdot \cos^2 x - 2x \ln 3 \cdot \log_3 x}{2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x} \cdot \cos^2 x \cdot \text{tg}^2 x}\] Учитывая, что \(\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}\), то \(\text{tg } x \cdot \cos^2 x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \sin x \cos x\). Также \(\cos^2 x \cdot \text{tg}^2 x = \cos^2 x \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 x\). \[y' = \frac{\sin x \cos x - 2x \ln 3 \cdot \log_3 x}{2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x} \cdot \sin^2 x}\] Ответ: Производная функции \(y' = \frac{\sin x \cos x - 2x \ln 3 \cdot \log_3 x}{2x \ln 3 \sqrt{\log_3 x} \cdot \sin^2 x}\). Билет №8 1. Вычислить площадь треугольника с вершинами: \(A(0, 1, 0)\), \(B(4, 0, 3)\), \(C(2, 2, 2)\). Решение: Площадь треугольника, заданного координатами вершин в трехмерном пространстве, можно найти как половину модуля векторного произведения двух векторов, образующих две стороны треугольника. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4 - 0, 0 - 1, 3 - 0) = (4, -1, 3)\) \(\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (2 - 0, 2 - 1, 2 - 0) = (2, 1, 2)\) Вычислим векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\): \[\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}\] \[= \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\] \[= \vec{i} ((-1)(2) - (3)(1)) - \vec{j} ((4)(2) - (3)(2)) + \vec{k} ((4)(1) - (-1)(2))\] \[= \vec{i} (-2 - 3) - \vec{j} (8 - 6) + \vec{k} (4 + 2)\] \[= -5\vec{i} - 2\vec{j} + 6\vec{k}\] Таким образом, векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC} = (-5, -2, 6)\). Модуль этого вектора равен: \(||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 4 + 36} = \sqrt{65}\) Площадь треугольника \(S\) равна половине модуля векторного произведения: \(S = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \frac{1}{2} \sqrt{65}\) Ответ: Площадь треугольника \(S = \frac{\sqrt{65}}{2}\). 2. Построить гиперболу, у которой \(a = 4\) и эксцентриситет \(\varepsilon = 2.5\). Найти её фокусы и уравнения асимптот. Решение: Уравнение гиперболы в каноническом виде: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\). Дано: \(a = 4\), \(\varepsilon = 2.5\). Связь между \(a, b\) и эксцентриситетом \(\varepsilon\) для гиперболы: \(\varepsilon = \frac{c}{a}\), где \(c\) - расстояние от центра до фокуса. Из \(\varepsilon = \frac{c}{a}\) найдем \(c\): \(c = a \cdot \varepsilon = 4 \cdot 2.5 = 10\). Для гиперболы справедливо соотношение \(c^2 = a^2 + b^2\). Найдем \(b^2\): \(b^2 = c^2 - a^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84\). Значит, \(b = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}\). Уравнение гиперболы: \[\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{84} = 1\] \[\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{84} = 1\] Фокусы гиперболы: Фокусы расположены на оси \(Ox\) в точках \((\pm c, 0)\). \(F_1 = (-10, 0)\) \(F_2 = (10, 0)\) Уравнения асимптот гиперболы: Уравнения асимптот имеют вид \(y = \pm \frac{b}{a} x\). \(y = \pm \frac{2\sqrt{21}}{4} x\) \(y = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} x\) Построение гиперболы: 1. Отметить центр (0,0). 2. Отметить вершины \((\pm a, 0)\), то есть \((\pm 4, 0)\). 3. Отметить точки \((0, \pm b)\), то есть \((0, \pm 2\sqrt{21})\). \(2\sqrt{21} \approx 2 \cdot 4.58 = 9.16\). 4. Построить прямоугольник с вершинами \((\pm a, \pm b)\). 5. Провести диагонали этого прямоугольника - это будут асимптоты. 6. Нарисовать ветви гиперболы, проходящие через вершины \((\pm 4, 0)\) и приближающиеся к асимптотам. Ответ: Уравнение гиперболы: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{84} = 1\). Фокусы: \(F_1(-10, 0)\) и \(F_2(10, 0)\). Уравнения асимптот: \(y = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} x\). 3. Найти предел \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 5}{3x^4 - 2x + 1}\). Решение: Это предел отношения многочленов при \(x \to \infty\). Чтобы найти такой предел, нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень \(x\) в знаменателе. В данном случае это \(x^4\). \[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 5}{3x^4 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^4} + \frac{2x}{x^4} - \frac{5}{x^4}}{\frac{3x^4}{x^4} - \frac{2x}{x^4} + \frac{1}{x^4}}\] \[= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{5}{x^4}}{3 - \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}}\] При \(x \to \infty\), выражения вида \(\frac{C}{x^n}\) стремятся к \(0\), где \(C\) - константа, а \(n > 0\). Значит: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^2} = 0\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^3} = 0\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^4} = 0\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^3} = 0\) \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^4} = 0\) Подставим эти значения в предел: \[= \frac{0 + 0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0\] Общее правило: если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел при \(x \to \infty\) равен \(0\). В нашем случае степень числителя \(2\), степень знаменателя \(4\). \(2 < 4\), поэтому предел равен \(0\). Ответ: Предел равен \(0\). 4. Найти производную функции \(y = \log_2 (\sin \sqrt{x})\). Решение: Это сложная функция. Применим правило цепочки. Пусть \(u = \sin \sqrt{x}\). Тогда \(y = \log_2 u\). Производная \(\log_a u\) по \(x\) равна \(\frac{1}{u \ln a} \cdot u'\). В нашем случае \(a = 2\), так что \(y' = \frac{1}{u \ln 2} \cdot u'\). Теперь найдем \(u' = (\sin \sqrt{x})'\). Пусть \(v = \sqrt{x}\). Тогда \(u = \sin v\). Производная \(\sin v\) по \(x\) равна \(\cos v \cdot v'\). Значит, \(u' = \cos \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})'\). Найдем \((\sqrt{x})'\): \((\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Теперь соберем все вместе: \(u' = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\). И, наконец, \(y'\): \(y' = \frac{1}{\sin \sqrt{x} \cdot \ln 2} \cdot \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\) \(y' = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \sin \sqrt{x} \ln 2}\) Можно также использовать тождество \(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha\): \(y' = \frac{\text{ctg } \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \ln 2}\) Ответ: Производная функции \(y' = \frac{\text{ctg } \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \ln 2}\).