Решение задачи: Содержание кальция в сыворотке крови обезьян

Задача: Содержание кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян. Дан ряд значений: 12.30, 14.20, 12.60, 11.70, 12.20, 12.30, 11.60, 12.00, 12.50, 13.50, 11.60, 11.90, 11.40, 12.00, 14.70, 11.25, 14.20, 13.20, 12.50, 13.80, 13.60, 12.90, 12.30, 9.90, 12.73, 11.72, 10.83, 10.42, 10.91, 10.21, 13.10, 10.91, 11.96, 11.13, 13.52, 13.53, 11.25, 10.10, 13.96, 10.00 Построить гистограмму. Вычислить среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти границы 95%-го доверительного интервала для среднего значения \(\mu\) генеральной совокупности. Решение: Шаг 1: Упорядочим данные и определим объем выборки. Объем выборки \(n = 40\). Упорядоченный ряд данных: 9.90, 10.00, 10.10, 10.21, 10.42, 10.83, 10.91, 10.91, 11.13, 11.25, 11.25, 11.40, 11.60, 11.60, 11.70, 11.72, 11.90, 11.96, 12.00, 12.00, 12.20, 12.30, 12.30, 12.30, 12.50, 12.50, 12.60, 12.73, 12.90, 13.10, 13.20, 13.50, 13.52, 13.53, 13.60, 13.80, 13.96, 14.20, 14.20, 14.70 Минимальное значение \(X_{min} = 9.90\) Максимальное значение \(X_{max} = 14.70\) Шаг 2: Построение гистограммы. Для построения гистограммы необходимо определить количество интервалов и их ширину. Используем формулу Стерджеса для определения количества интервалов \(k\): \[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n)\] \[k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(40) \approx 1 + 3.322 \cdot 1.602 \approx 1 + 5.32 \approx 6.32\] Округлим \(k\) до 6 или 7. Возьмем \(k = 7\). Ширина интервала \(h\): \[h = \frac{X_{max} - X_{min}}{k} = \frac{14.70 - 9.90}{7} = \frac{4.80}{7} \approx 0.6857\] Округлим ширину интервала до удобного значения, например, \(h = 0.7\). Определим границы интервалов: 1. От 9.90 до \(9.90 + 0.7 = 10.60\) 2. От 10.60 до \(10.60 + 0.7 = 11.30\) 3. От 11.30 до \(11.30 + 0.7 = 12.00\) 4. От 12.00 до \(12.00 + 0.7 = 12.70\) 5. От 12.70 до \(12.70 + 0.7 = 13.40\) 6. От 13.40 до \(13.40 + 0.7 = 14.10\) 7. От 14.10 до \(14.10 + 0.7 = 14.80\) Теперь подсчитаем частоту попадания значений в каждый интервал: 1. [9.90; 10.60): 9.90, 10.00, 10.10, 10.21, 10.42 (5 значений) 2. [10.60; 11.30): 10.83, 10.91, 10.91, 11.13, 11.25, 11.25 (6 значений) 3. [11.30; 12.00): 11.40, 11.60, 11.60, 11.70, 11.72, 11.90, 11.96 (7 значений) 4. [12.00; 12.70): 12.00, 12.00, 12.20, 12.30, 12.30, 12.30, 12.50, 12.50, 12.60 (9 значений) 5. [12.70; 13.40): 12.73, 12.90, 13.10, 13.20 (4 значения) 6. [13.40; 14.10): 13.50, 13.52, 13.53, 13.60, 13.80, 13.96 (6 значений) 7. [14.10; 14.80]: 14.20, 14.20, 14.70 (3 значения) Сумма частот: \(5+6+7+9+4+6+3 = 40\). Гистограмма (текстовое представление): Интервал | Частота ----------------|-------- [9.90; 10.60) | ***** [10.60; 11.30) | ****** [11.30; 12.00) | ******* [12.00; 12.70) | ********* [12.70; 13.40) | **** [13.40; 14.10) | ****** [14.10; 14.80] | *** Шаг 3: Вычисление среднего значения (выборочного среднего). Формула для выборочного среднего \(\bar{X}\): \[\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\] Сумма всех значений: \(\sum X_i = 12.30 + 14.20 + 12.60 + 11.70 + 12.20 + 12.30 + 11.60 + 12.00 + 12.50 + 13.50 + 11.60 + 11.90 + 11.40 + 12.00 + 14.70 + 11.25 + 14.20 + 13.20 + 12.50 + 13.80 + 13.60 + 12.90 + 12.30 + 9.90 + 12.73 + 11.72 + 10.83 + 10.42 + 10.91 + 10.21 + 13.10 + 10.91 + 11.96 + 11.13 + 13.52 + 13.53 + 11.25 + 10.10 + 13.96 + 10.00 = 490.63\) \[\bar{X} = \frac{490.63}{40} = 12.26575\] Округлим до двух знаков после запятой: \(\bar{X} \approx 12.27\) Шаг 4: Вычисление дисперсии (выборочной дисперсии). Формула для выборочной дисперсии \(S^2\): \[S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2\] Сначала вычислим \(\sum (X_i - \bar{X})^2\): \((12.30 - 12.26575)^2 = 0.00117\) \((14.20 - 12.26575)^2 = 3.7419\) ... и так далее для всех 40 значений. Сумма квадратов отклонений: \(\sum (X_i - \bar{X})^2 \approx 30.901\) \[S^2 = \frac{30.901}{40 - 1} = \frac{30.901}{39} \approx 0.7923\] Округлим до четырех знаков после запятой: \(S^2 \approx 0.7923\) Шаг 5: Вычисление среднего квадратического отклонения (выборочного стандартного отклонения). Формула для выборочного стандартного отклонения \(S\): \[S = \sqrt{S^2}\] \[S = \sqrt{0.7923} \approx 0.8901\] Округлим до четырех знаков после запятой: \(S \approx 0.8901\) Шаг 6: Нахождение границ 95%-го доверительного интервала для среднего значения \(\mu\) генеральной совокупности. Для построения доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности при неизвестной дисперсии и \(n < 30\) или \(n \ge 30\) (но дисперсия генеральной совокупности неизвестна), используется t-распределение Стьюдента. В данном случае \(n = 40\), что достаточно для использования нормального распределения, но для большей точности и универсальности, особенно если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, лучше использовать t-распределение. Формула для доверительного интервала: \[\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\] где: \(\bar{X}\) - выборочное среднее \(S\) - выборочное стандартное отклонение \(n\) - объем выборки \(t_{\alpha/2, n-1}\) - критическое значение t-распределения для уровня значимости \(\alpha\) и \(n-1\) степеней свободы. Уровень доверия 95%, значит \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\). \(\alpha/2 = 0.05 / 2 = 0.025\). Число степеней свободы \(df = n - 1 = 40 - 1 = 39\). По таблице t-распределения для \(df = 39\) и \(\alpha/2 = 0.025\), критическое значение \(t_{0.025, 39} \approx 2.0227\). Теперь подставим значения в формулу: \[\text{Доверительный интервал} = 12.26575 \pm 2.0227 \cdot \frac{0.8901}{\sqrt{40}}\] \[\frac{0.8901}{\sqrt{40}} = \frac{0.8901}{6.32455} \approx 0.14073\] \[\text{Ошибка выборки} = 2.0227 \cdot 0.14073 \approx 0.2846\] Нижняя граница: \(12.26575 - 0.2846 = 11.98115\) Верхняя граница: \(12.26575 + 0.2846 = 12.55035\) Округлим до двух знаков после запятой: Нижняя граница \(\approx 11.98\) Верхняя граница \(\approx 12.55\) Ответы: Среднее значение \(\bar{X} \approx 12.27\) мг%. Дисперсия \(S^2 \approx 0.7923\) (мг%)². Среднее квадратическое отклонение \(S \approx 0.8901\) мг%. 95%-й доверительный интервал для среднего значения \(\mu\) генеральной совокупности: \([11.98; 12.55]\) мг%. Гистограмма: (Для построения гистограммы в тетради нужно нарисовать оси координат. По горизонтальной оси отложить интервалы значений, по вертикальной оси - частоту. Над каждым интервалом нарисовать прямоугольник, высота которого соответствует частоте.) Примерный вид гистограммы: ``` 9 | 8 | +---+ 7 | +---+ | 6 | +---+ | | +---+ 5 | +---+ | | | | | 4 | | | | | | | | +---+ 3 | | | | | | | | | | 2 | | | | | | | | | | 1 | | | | | | | | | | 0 +---+---+---+---+---+---+---+--- 9.9 10.6 11.3 12.0 12.7 13.4 14.1 14.8 ```