Самостоятельная работа по ТЕМЕ: "ОБЪЁМ МНОГОГРАННИКА", 4 ВАРИАНТ
1. Диагональ куба равна \( \sqrt{108} \). Найдите его объем.
Решение:
Пусть ребро куба равно \( a \). Диагональ куба \( d \) связана с ребром формулой \( d = a\sqrt{3} \).
Нам дано, что \( d = \sqrt{108} \).
Тогда \( a\sqrt{3} = \sqrt{108} \).
Возведем обе части в квадрат:
\( (a\sqrt{3})^2 = (\sqrt{108})^2 \)
\( 3a^2 = 108 \)
\( a^2 = \frac{108}{3} \)
\( a^2 = 36 \)
\( a = \sqrt{36} \)
\( a = 6 \)
Объем куба \( V \) находится по формуле \( V = a^3 \).
\( V = 6^3 \)
\( V = 216 \)
Ответ: Объем куба равен 216.
2. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 17,5. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 19 и 3. Объем параллелепипеда равен 342. Найдите объем параллелепипеда.
(В условии задачи есть некоторая неточность: "Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 19 и 3" и "Объем параллелепипеда равен 342. Найдите объем параллелепипеда." Вероятно, это две разные задачи или опечатка. Решим первую часть, где даны площадь грани и перпендикулярное ребро, а затем вторую, если это отдельная задача.)
Решение (по первой части условия):
Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пусть площадь грани (основания) \( S_{осн} = 17,5 \).
Высота (ребро, перпендикулярное этой грани) \( h = 19 \).
Тогда объем \( V = S_{осн} \cdot h \).
\( V = 17,5 \cdot 19 \)
\( V = 332,5 \)
Если высота \( h = 3 \), то \( V = 17,5 \cdot 3 = 52,5 \).
(Предположим, что "19 и 3" - это опечатка, и должно быть одно значение. Если же это две разные задачи, то ответы будут 332,5 и 52,5.)
Решение (по второй части условия):
Если "Объем параллелепипеда равен 342. Найдите объем параллелепипеда." - это отдельная задача, то объем уже дан.
Ответ: 342.
(Для школьника лучше уточнить у учителя, как интерпретировать это условие. Если нужно выбрать одно значение из 19 и 3, то обычно выбирают первое или то, которое логичнее в контексте других задач. Если это просто опечатка, и нужно найти объем, используя 17,5 и одно из чисел, то я привел оба варианта. Если же это просто повторение, то ответ 342.)
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 19 и 3. Объем параллелепипеда равен 342. Найдите третье ребро.
Решение:
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \( a, b, c \).
Нам даны два ребра: \( a = 19 \), \( b = 3 \).
Объем параллелепипеда \( V = a \cdot b \cdot c \).
Нам дано \( V = 342 \).
Подставим известные значения в формулу:
\( 342 = 19 \cdot 3 \cdot c \)
\( 342 = 57 \cdot c \)
\( c = \frac{342}{57} \)
\( c = 6 \)
Ответ: Третье ребро равно 6.
4. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6, 24 и 1,5. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Решение:
Сначала найдем объем прямоугольного параллелепипеда.
Пусть измерения параллелепипеда \( a = 6 \), \( b = 24 \), \( c = 1,5 \).
Объем параллелепипеда \( V_{пар} = a \cdot b \cdot c \).
\( V_{пар} = 6 \cdot 24 \cdot 1,5 \)
\( V_{пар} = 144 \cdot 1,5 \)
\( V_{пар} = 216 \)
Равновеликий куб имеет такой же объем. Пусть ребро куба равно \( x \).
Объем куба \( V_{куб} = x^3 \).
Так как \( V_{куб} = V_{пар} \), то \( x^3 = 216 \).
Чтобы найти \( x \), нужно извлечь кубический корень из 216.
\( x = \sqrt[3]{216} \)
\( x = 6 \)
Ответ: Ребро равновеликого куба равно 6.
5. Найдите объем параллелепипеда, если его основание имеет стороны \( \sqrt{8} \) и 10, угол между ними 45°, а боковое ребро имеет длину \( 3\sqrt{3} \) и образует с плоскостью основания угол 60°.
Решение:
Объем параллелепипеда \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота параллелепипеда.
Найдем площадь основания. Основание - параллелограмм со сторонами \( a = \sqrt{8} \) и \( b = 10 \), и углом между ними \( \alpha = 45^\circ \).
\( S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \)
\( S_{осн} = \sqrt{8} \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ) \)
\( S_{осн} = 2\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( S_{осн} = 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( S_{осн} = 10 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \)
\( S_{осн} = 10 \cdot 2 \)
\( S_{осн} = 20 \)
Теперь найдем высоту \( h \). Боковое ребро \( l = 3\sqrt{3} \) и образует с плоскостью основания угол \( \beta = 60^\circ \).
Высота \( h = l \cdot \sin(\beta) \).
\( h = 3\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) \)
\( h = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( h = 3 \cdot \frac{3}{2} \)
\( h = \frac{9}{2} = 4,5 \)
Теперь найдем объем параллелепипеда:
\( V = S_{осн} \cdot h \)
\( V = 20 \cdot 4,5 \)
\( V = 90 \)
Ответ: Объем параллелепипеда равен 90.
6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 2,5 и 14, боковое ребро равно 11. Найдите объем призмы.
Решение:
Объем прямой призмы \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота призмы.
Основание - прямоугольный треугольник с катетами \( a = 2,5 \) и \( b = 14 \).
Площадь прямоугольного треугольника \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \).
\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 14 \)
\( S_{осн} = 2,5 \cdot 7 \)
\( S_{осн} = 17,5 \)
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра, то есть \( h = 11 \).
Найдем объем призмы:
\( V = S_{осн} \cdot h \)
\( V = 17,5 \cdot 11 \)
\( V = 192,5 \)
Ответ: Объем призмы равен 192,5.
7. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 14, \( \sqrt{16} \). Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите объем параллелепипеда.
Решение:
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \( a, b, c \).
Нам даны два ребра: \( a = 14 \), \( b = \sqrt{16} = 4 \).
Диагональ параллелепипеда \( d \) связана с измерениями формулой \( d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \).
Нам дано \( d = 15 \).
Подставим известные значения в формулу:
\( 15^2 = 14^2 + 4^2 + c^2 \)
\( 225 = 196 + 16 + c^2 \)
\( 225 = 212 + c^2 \)
\( c^2 = 225 - 212 \)
\( c^2 = 13 \)
\( c = \sqrt{13} \)
Объем параллелепипеда \( V = a \cdot b \cdot c \).
\( V = 14 \cdot 4 \cdot \sqrt{13} \)
\( V = 56\sqrt{13} \)
Ответ: Объем параллелепипеда равен \( 56\sqrt{13} \).
8. Объем куба равен 192. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Решение:
Сначала найдем ребро куба. Пусть ребро куба равно \( a \).
Объем куба \( V_{куб} = a^3 \).
Нам дано \( V_{куб} = 192 \).
\( a^3 = 192 \)
\( a = \sqrt[3]{192} \)
\( a = \sqrt[3]{64 \cdot 3} \)
\( a = 4\sqrt[3]{3} \)
Основанием пирамиды является грань куба, поэтому площадь основания пирамиды \( S_{осн} = a^2 \).
\( S_{осн} = (4\sqrt[3]{3})^2 = 16 \cdot (\sqrt[3]{3})^2 = 16\sqrt[3]{9} \)
Высота пирамиды \( h \) - это расстояние от центра куба до грани. Это половина ребра куба.
\( h = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt[3]{3}}{2} = 2\sqrt[3]{3} \)
Объем пирамиды \( V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).
\( V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt[3]{9} \cdot 2\sqrt[3]{3} \)
\( V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 3} \)
\( V_{пир} = \frac{32}{3} \cdot \sqrt[3]{27} \)
\( V_{пир} = \frac{32}{3} \cdot 3 \)
\( V_{пир} = 32 \)
Ответ: Объем пирамиды равен 32.
9. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 10, а объем равен \( 9\sqrt{3} \).
Решение:
Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.
Основание - правильный треугольник со стороной \( a = 10 \).
Площадь правильного треугольника \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
\( S_{осн} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \)
Нам дан объем пирамиды \( V = 9\sqrt{3} \).
Подставим известные значения в формулу объема:
\( 9\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot h \)
Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):
\( 9 = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot h \)
\( 9 = \frac{25}{3} h \)
Чтобы найти \( h \), умножим обе части на \( \frac{3}{25} \):
\( h = 9 \cdot \frac{3}{25} \)
\( h = \frac{27}{25} \)
\( h = 1,08 \)
Ответ: Высота пирамиды равна \( \frac{27}{25} \) или 1,08.
10. В правильной четырёхугольной пирамиде \( SABCD \) с основанием \( ABCD \) боковое ребро \( SA \) равно 14, сторона основания равна \( 3\sqrt{2} \). Найдите объём пирамиды.
Решение:
Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.
Основание - квадрат со стороной \( a = 3\sqrt{2} \).
Площадь основания \( S_{осн} = a^2 \).
\( S_{осн} = (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \)
Теперь найдем высоту пирамиды \( h \). Высота правильной четырехугольной пирамиды опускается в центр основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( SA \), высотой пирамиды \( SO \) (где \( O \) - центр основания) и половиной диагонали основания \( AO \).
Найдем диагональ основания \( AC \). Для квадрата со стороной \( a \), диагональ \( d = a\sqrt{2} \).
\( AC = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6 \)
Половина диагонали \( AO = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
Теперь используем теорему Пифагора в треугольнике \( SOA \): \( SA^2 = SO^2 + AO^2 \).
Нам дано \( SA = 14 \).
\( 14^2 = h^2 + 3^2 \)
\( 196 = h^2 + 9 \)
\( h^2 = 196 - 9 \)
\( h^2 = 187 \)
\( h = \sqrt{187} \)
Теперь найдем объем пирамиды:
\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot \sqrt{187} \)
\( V = 6\sqrt{187} \)
Ответ: Объем пирамиды равен \( 6\sqrt{187} \).
11. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а высота равна \( 5\sqrt{3} \).
Решение:
Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.
Основание - правильный треугольник со стороной \( a = 4 \).
Площадь правильного треугольника \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
\( S_{осн} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \)
Высота пирамиды \( h = 5\sqrt{3} \).
Найдем объем пирамиды:
\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 3 \)
\( V = 20 \)
Ответ: Объем пирамиды равен 20.
---
Вариант 2
1. Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:
Ответ: Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле \( V = a \cdot b \cdot c \), где \( a, b, c \) - длины его измерений (длина, ширина, высота).
2. Объем пирамиды находится по формуле:
Ответ: Объем пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.
3. Найдите ребро куба, если его объем равен \( 729 \text{ см}^3 \).
Решение:
Пусть ребро куба равно \( a \).
Объем куба \( V = a^3 \).
Нам дано \( V = 729 \).
\( a^3 = 729 \)
\( a = \sqrt[3]{729} \)
\( a = 9 \)
Ответ: Ребро куба равно 9 см.
4. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 2 мм, 8 мм и 10 мм.
Решение:
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда \( a = 2 \text{ мм} \), \( b = 8 \text{ мм} \), \( c = 10 \text{ мм} \).
Объем параллелепипеда \( V = a \cdot b \cdot c \).
\( V = 2 \cdot 8 \cdot 10 \)
\( V = 16 \cdot 10 \)
\( V = 160 \)
Ответ: Объем прямоугольного параллелепипеда равен 160 мм\(^3\).
5. Найдите объем куба, если его ребро равно 6 дм.
Решение:
Пусть ребро куба равно \( a = 6 \text{ дм} \).
Объем куба \( V = a^3 \).
\( V = 6^3 \)
\( V = 216 \)
Ответ: Объем куба равен 216 дм\(^3\).
6. Найдите площадь основания прямой призмы, если ее объем равен \( 140 \text{ м}^3 \), а боковое ребро 20 м.
Решение:
Объем прямой призмы \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота призмы.
Нам дано \( V = 140 \text{ м}^3 \).
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра, то есть \( h = 20 \text{ м} \).
Подставим известные значения в формулу:
\( 140 = S_{осн} \cdot 20 \)
\( S_{осн} = \frac{140}{20} \)
\( S_{осн} = 7 \)
Ответ: Площадь основания прямой призмы равна 7 м\(^2\).
7. Два куба с ребрами 4 см и 3 см сплавили в один куб. Найдите ребро нового куба.
Решение:
Сначала найдем объемы двух исходных кубов.
Объем первого куба с ребром \( a_1 = 4 \text{ см} \):
\( V_1 = a_1^3 = 4^3 = 64 \text{ см}^3 \)
Объем второго куба с ребром \( a_2 = 3 \text{ см} \):
\( V_2 = a_2^3 = 3^3 = 27 \text{ см}^3 \)
При сплавлении объемы складываются. Объем нового куба \( V_{нов} = V_1 + V_2 \).
\( V_{нов} = 64 + 27 = 91 \text{ см}^3 \)
Пусть ребро нового куба равно \( a_{нов} \).
\( V_{нов} = a_{нов}^3 \)
\( a_{нов}^3 = 91 \)
\( a_{нов} = \sqrt[3]{91} \)
Ответ: Ребро нового куба равно \( \sqrt[3]{91} \) см.
8. Дано: прямая правильная призма, боковое ребро равно 10 см, сторона основания 8 см. Найти объем.
(В условии не указано, какая именно правильная призма. Обычно, если не указано, подразумевается, что основание - правильный многоугольник. Чаще всего это треугольник или четырехугольник (квадрат). Если это правильная четырехугольная призма, то основание - квадрат. Если правильная треугольная, то основание - равносторонний треугольник. Предположим, что это правильная четырехугольная призма, то есть основание - квадрат.)
Решение (предполагая, что основание - квадрат):
Объем прямой призмы \( V = S_{осн} \cdot h \).
Сторона основания \( a = 8 \text{ см} \).
Площадь основания (квадрата) \( S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 \).
Высота призмы \( h \) равна длине бокового ребра, то есть \( h = 10 \text{ см} \).
Объем призмы \( V = 64 \cdot 10 = 640 \text{ см}^3 \).
(Если бы основание было равносторонним треугольником, то \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \). Тогда \( V = 16\sqrt{3} \cdot 10 = 160\sqrt{3} \text{ см}^3 \). Для школьника лучше уточнить тип основания.)
Ответ: Объем призмы равен 640 см\(^3\) (если основание - квадрат).
9. Найти объем пирамиды (измерения даны в мм).
(На изображении показана пирамида. Основание - квадрат со стороной 5. Высота пирамиды - 8.)
Решение:
Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).
Основание - квадрат со стороной \( a = 5 \text{ мм} \).
Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ мм}^2 \).
Высота пирамиды \( h = 8 \text{ мм} \).
Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 8 \).
\( V = \frac{200}{3} \)
\( V \approx 66,67 \)
Ответ: Объем пирамиды равен \( \frac{200}{3} \) мм\(^3\) или примерно 66,67 мм\(^3\).
10. Найдите объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 3 см и 9 см, а высота — 5 см.
Решение:
Объем усеченной пирамиды \( V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \), где \( h \) - высота усеченной пирамиды, \( S_1 \) и \( S_2 \) - площади оснований.
Основания - квадраты со сторонами \( a_1 = 3 \text{ см} \) и \( a_2 = 9 \text{ см} \).
Площадь верхнего основания \( S_1 = a_1^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2 \).
Площадь нижнего основания \( S_2 = a_2^2 = 9^2 = 81 \text{ см}^2 \).
Высота усеченной пирамиды \( h = 5 \text{ см} \).
Подставим значения в формулу:
\( V = \frac{1}{3} \cdot 5 (9 + 81 + \sqrt{9 \cdot 81}) \)
\( V = \frac{5}{3} (90 + \sqrt{729}) \)
\( V = \frac{5}{3} (90 + 27) \)
\( V = \frac{5}{3} (117) \)
\( V = 5 \cdot \frac{117}{3} \)
\( V = 5 \cdot 39 \)
\( V = 195 \)
Ответ: Объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды равен 195 см\(^3\).