Решение задачи: Распределение Бернулли (Вариант 1, p=0.9)

Задача 2. Случайная величина \(X\) равна числу успехов в схеме Бернулли при трех испытаниях. Вероятность успеха в каждом испытании равна \(p\). Составить ряд распределения СВ \(X\), найти ее функцию распределения, математическое ожидание, моду и среднеквадратичное отклонение. Построить график функции распределения. Значения \(p\) приведены в таблице в соответствии с номером варианта. | вариант | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |---------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| | p | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | --- Решение для варианта 1 (p = 0,9): Дано: Число испытаний \(n = 3\). Вероятность успеха в одном испытании \(p = 0,9\). Вероятность неудачи в одном испытании \(q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1\). Случайная величина \(X\) - число успехов в 3 испытаниях. Возможные значения \(X\) могут быть: 0, 1, 2, 3. 1. Ряд распределения случайной величины \(X\). Вероятность \(P(X=k)\) для схемы Бернулли вычисляется по формуле Бернулли: \[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] где \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\). Вычислим вероятности для каждого значения \(k\): Для \(k=0\): \[P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,9)^0 \cdot (0,1)^{3-0} = \frac{3!}{0!(3-0)!} \cdot 1 \cdot (0,1)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,001 = 0,001\] Для \(k=1\): \[P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,9)^1 \cdot (0,1)^{3-1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} \cdot 0,9 \cdot (0,1)^2 = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 0,027\] Для \(k=2\): \[P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,9)^2 \cdot (0,1)^{3-2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot (0,9)^2 \cdot (0,1)^1 = 3 \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 0,243\] Для \(k=3\): \[P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,9)^3 \cdot (0,1)^{3-3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} \cdot (0,9)^3 \cdot (0,1)^0 = 1 \cdot 0,729 \cdot 1 = 0,729\] Проверим сумму вероятностей: \(0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1,000\). Сумма равна 1, значит, расчеты верны. Ряд распределения случайной величины \(X\): | \(X\) | 0 | 1 | 2 | 3 | |-------|-------|-------|-------|-------| | \(P\) | 0,001 | 0,027 | 0,243 | 0,729 | 2. Функция распределения \(F(x)\). Функция распределения \(F(x)\) определяется как \(F(x) = P(X < x)\). Если \(x \le 0\), то \(F(x) = 0\). Если \(0 < x \le 1\), то \(F(x) = P(X=0) = 0,001\). Если \(1 < x \le 2\), то \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) = 0,001 + 0,027 = 0,028\). Если \(2 < x \le 3\), то \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,001 + 0,027 + 0,243 = 0,271\). Если \(x > 3\), то \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1\). Таким образом, функция распределения \(F(x)\) имеет вид: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 0 \\ 0,001, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 0,028, & \text{при } 1 < x \le 2 \\ 0,271, & \text{при } 2 < x \le 3 \\ 1, & \text{при } x > 3 \end{cases} \] 3. Математическое ожидание \(M(X)\). Для биномиального распределения математическое ожидание вычисляется по формуле: \[M(X) = n \cdot p\] \[M(X) = 3 \cdot 0,9 = 2,7\] 4. Мода \(Mo(X)\). Мода - это значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность. Из ряда распределения видно, что наибольшая вероятность \(P(X=3) = 0,729\). Следовательно, мода \(Mo(X) = 3\). 5. Среднеквадратичное отклонение \(\sigma(X)\). Сначала найдем дисперсию \(D(X)\). Для биномиального распределения дисперсия вычисляется по формуле: \[D(X) = n \cdot p \cdot q\] \[D(X) = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 0,27\] Среднеквадратичное отклонение \(\sigma(X)\) - это квадратный корень из дисперсии: \[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\] \[\sigma(X) = \sqrt{0,27} \approx 0,5196\] 6. Построить график функции распределения. График функции распределения \(F(x)\) представляет собой ступенчатую функцию. На оси абсцисс откладываем значения \(x\), на оси ординат - значения \(F(x)\). * При \(x \le 0\), \(F(x) = 0\). * При \(0 < x \le 1\), \(F(x) = 0,001\). * При \(1 < x \le 2\), \(F(x) = 0,028\). * При \(2 < x \le 3\), \(F(x) = 0,271\). * При \(x > 3\), \(F(x) = 1\). График будет выглядеть как последовательность горизонтальных отрезков, поднимающихся в точках 0, 1, 2, 3. (Здесь должен быть график. Поскольку я текстовый помощник, я не могу нарисовать график. Но я могу описать его словами, как это было сделано выше. Для школьника можно нарисовать его на миллиметровой бумаге, отмечая точки (0, 0.001), (1, 0.028), (2, 0.271), (3, 1) и проводя горизонтальные линии от этих точек до следующего значения \(x\), а также горизонтальную линию \(F(x)=0\) до \(x=0\) и \(F(x)=1\) после \(x=3\).) --- Краткий вывод для тетради: Задача 2. Вариант 1. \(n=3\), \(p=0,9\). 1. Ряд распределения СВ \(X\): \(q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1\). \(P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,9)^0 \cdot (0,1)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,001 = 0,001\) \(P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,9)^1 \cdot (0,1)^2 = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 0,027\) \(P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,9)^2 \cdot (0,1)^1 = 3 \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 0,243\) \(P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,9)^3 \cdot (0,1)^0 = 1 \cdot 0,729 \cdot 1 = 0,729\) | \(X\) | 0 | 1 | 2 | 3 | |-------|-------|-------|-------|-------| | \(P\) | 0,001 | 0,027 | 0,243 | 0,729 | 2. Функция распределения \(F(x)\): \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 0 \\ 0,001, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 0,028, & \text{при } 1 < x \le 2 \\ 0,271, & \text{при } 2 < x \le 3 \\ 1, & \text{при } x > 3 \end{cases} \] 3. Математическое ожидание \(M(X)\): \(M(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0,9 = 2,7\) 4. Мода \(Mo(X)\): \(Mo(X) = 3\) (так как \(P(X=3) = 0,729\) - наибольшая вероятность) 5. Среднеквадратичное отклонение \(\sigma(X)\): Дисперсия \(D(X) = n \cdot p \cdot q = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 0,27\) \(\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,27} \approx 0,5196\) 6. График функции распределения \(F(x)\): (Нарисовать ступенчатый график, как описано выше, с горизонтальными отрезками на уровнях 0, 0.001, 0.028, 0.271, 1.)