Вариант 1
1. Из таблицы для Варианта 1 имеем: \(a = 2\) \(b = 4\) \(c = 2\) \(d = 3\) 2. Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины на отрезке \((a, b)\) задается формулой: \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{если } x \in [a, b] \\ 0, & \text{если } x \notin [a, b] \end{cases}\] Подставляем значения \(a = 2\) и \(b = 4\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4-2}, & \text{если } x \in [2, 4] \\ 0, & \text{если } x \notin [2, 4] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{если } x \in [2, 4] \\ 0, & \text{если } x \notin [2, 4] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Это горизонтальный отрезок на высоте \(1/2\) от \(x=2\) до \(x=4\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=2\) и \(x=4\). На уровне \(y=1/2\) проведите горизонтальную линию от \(x=2\) до \(x=4\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\) для равномерного распределения: \[E(X) = \frac{a+b}{2}\] Подставляем значения \(a = 2\) и \(b = 4\): \[E(X) = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3\] 5. Дисперсия \(D(X)\) для равномерного распределения: \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\] Подставляем значения \(a = 2\) и \(b = 4\): \[D(X) = \frac{(4-2)^2}{12} = \frac{2^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): Для равномерного распределения на \([a, b]\) вероятность попадания в интервал \((c, d)\) (при условии, что \([c, d]\) полностью или частично находится внутри \([a, b]\)) вычисляется как: \[P(c < X < d) = \int_c^d f(x) dx\] В нашем случае \(a=2, b=4, c=2, d=3\). Интервал \((c, d)\) - это \((2, 3)\). \[P(2 < X < 3) = \int_2^3 \frac{1}{2} dx\] \[P(2 < X < 3) = \left[ \frac{1}{2}x \right]_2^3 = \frac{1}{2}(3) - \frac{1}{2}(2) = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}\] Или, используя формулу для равномерного распределения: \[P(c < X < d) = \frac{d-c}{b-a}\] При условии, что \(a \le c < d \le b\). В нашем случае \(a=2, b=4, c=2, d=3\). Все условия выполняются. \[P(2 < X < 3) = \frac{3-2}{4-2} = \frac{1}{2}\]Вариант 2
1. Из таблицы для Варианта 2 имеем: \(a = 3\) \(b = 6\) \(c = 3\) \(d = 4\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6-3}, & \text{если } x \in [3, 6] \\ 0, & \text{если } x \notin [3, 6] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & \text{если } x \in [3, 6] \\ 0, & \text{если } x \notin [3, 6] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/3\) от \(x=3\) до \(x=6\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=3\) и \(x=6\). На уровне \(y=1/3\) проведите горизонтальную линию от \(x=3\) до \(x=6\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{3+6}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(6-3)^2}{12} = \frac{3^2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=3, b=6, c=3, d=4\). Интервал \((c, d)\) - это \((3, 4)\). \[P(3 < X < 4) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{4-3}{6-3} = \frac{1}{3}\]Вариант 3
1. Из таблицы для Варианта 3 имеем: \(a = 1\) \(b = 3\) \(c = 2\) \(d = 3\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3-1}, & \text{если } x \in [1, 3] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 3] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{если } x \in [1, 3] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 3] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/2\) от \(x=1\) до \(x=3\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=1\) и \(x=3\). На уровне \(y=1/2\) проведите горизонтальную линию от \(x=1\) до \(x=3\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(3-1)^2}{12} = \frac{2^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=1, b=3, c=2, d=3\). Интервал \((c, d)\) - это \((2, 3)\). \[P(2 < X < 3) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{3-2}{3-1} = \frac{1}{2}\]Вариант 4
1. Из таблицы для Варианта 4 имеем: \(a = 5\) \(b = 7\) \(c = 5\) \(d = 6\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{7-5}, & \text{если } x \in [5, 7] \\ 0, & \text{если } x \notin [5, 7] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{если } x \in [5, 7] \\ 0, & \text{если } x \notin [5, 7] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/2\) от \(x=5\) до \(x=7\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=5\) и \(x=7\). На уровне \(y=1/2\) проведите горизонтальную линию от \(x=5\) до \(x=7\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{5+7}{2} = \frac{12}{2} = 6\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(7-5)^2}{12} = \frac{2^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=5, b=7, c=5, d=6\). Интервал \((c, d)\) - это \((5, 6)\). \[P(5 < X < 6) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{6-5}{7-5} = \frac{1}{2}\]Вариант 5
1. Из таблицы для Варианта 5 имеем: \(a = 1\) \(b = 5\) \(c = 2\) \(d = 3\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5-1}, & \text{если } x \in [1, 5] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 5] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & \text{если } x \in [1, 5] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 5] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/4\) от \(x=1\) до \(x=5\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=1\) и \(x=5\). На уровне \(y=1/4\) проведите горизонтальную линию от \(x=1\) до \(x=5\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(5-1)^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=1, b=5, c=2, d=3\). Интервал \((c, d)\) - это \((2, 3)\). \[P(2 < X < 3) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{3-2}{5-1} = \frac{1}{4}\]Вариант 6
1. Из таблицы для Варианта 6 имеем: \(a = 2\) \(b = 6\) \(c = 3\) \(d = 4\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6-2}, & \text{если } x \in [2, 6] \\ 0, & \text{если } x \notin [2, 6] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & \text{если } x \in [2, 6] \\ 0, & \text{если } x \notin [2, 6] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/4\) от \(x=2\) до \(x=6\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=2\) и \(x=6\). На уровне \(y=1/4\) проведите горизонтальную линию от \(x=2\) до \(x=6\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(6-2)^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=2, b=6, c=3, d=4\). Интервал \((c, d)\) - это \((3, 4)\). \[P(3 < X < 4) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{4-3}{6-2} = \frac{1}{4}\]Вариант 7
1. Из таблицы для Варианта 7 имеем: \(a = 1\) \(b = 4\) \(c = 1\) \(d = 2\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4-1}, & \text{если } x \in [1, 4] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 4] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & \text{если } x \in [1, 4] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 4] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/3\) от \(x=1\) до \(x=4\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=1\) и \(x=4\). На уровне \(y=1/3\) проведите горизонтальную линию от \(x=1\) до \(x=4\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(4-1)^2}{12} = \frac{3^2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=1, b=4, c=1, d=2\). Интервал \((c, d)\) - это \((1, 2)\). \[P(1 < X < 2) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{2-1}{4-1} = \frac{1}{3}\]Вариант 8
1. Из таблицы для Варианта 8 имеем: \(a = 1\) \(b = 5\) \(c = 1\) \(d = 2\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5-1}, & \text{если } x \in [1, 5] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 5] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & \text{если } x \in [1, 5] \\ 0, & \text{если } x \notin [1, 5] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/4\) от \(x=1\) до \(x=5\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=1\) и \(x=5\). На уровне \(y=1/4\) проведите горизонтальную линию от \(x=1\) до \(x=5\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(5-1)^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=1, b=5, c=1, d=2\). Интервал \((c, d)\) - это \((1, 2)\). \[P(1 < X < 2) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{2-1}{5-1} = \frac{1}{4}\]Вариант 9
1. Из таблицы для Варианта 9 имеем: \(a = 2\) \(b = 3\) \(c = 2\) \(d = 5\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3-2}, & \text{если } x \in [2, 3] \\ 0, & \text{если } x \notin [2, 3] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in [2, 3] \\ 0, & \text{если } x \notin [2, 3] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1\) от \(x=2\) до \(x=3\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=2\) и \(x=3\). На уровне \(y=1\) проведите горизонтальную линию от \(x=2\) до \(x=3\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(3-2)^2}{12} = \frac{1^2}{12} = \frac{1}{12}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=2, b=3, c=2, d=5\). Интервал \((c, d)\) - это \((2, 5)\). Обратите внимание, что интервал \((c, d)\) выходит за пределы интервала \((a, b)\). Вероятность попадания в интервал \((c, d)\) для равномерного распределения на \([a, b]\) равна вероятности попадания в пересечение интервалов \([a, b]\) и \((c, d)\). Пересечение \([2, 3]\) и \((2, 5)\) это \((2, 3]\). \[P(2 < X < 5) = P(2 < X \le 3) = \int_2^3 f(x) dx = \int_2^3 1 dx = [x]_2^3 = 3-2 = 1\] Это логично, так как вся случайная величина \(X\) находится в интервале \([2, 3]\), и интервал \((2, 5)\) полностью покрывает \([2, 3]\) (за исключением левой границы, но для непрерывных распределений это не имеет значения).Вариант 10
1. Из таблицы для Варианта 10 имеем: \(a = 3\) \(b = 5\) \(c = 4\) \(d = 5\) 2. Плотность распределения \(f(x)\): \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5-3}, & \text{если } x \in [3, 5] \\ 0, & \text{если } x \notin [3, 5] \end{cases}\] \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{если } x \in [3, 5] \\ 0, & \text{если } x \notin [3, 5] \end{cases}\] 3. График плотности распределения: Горизонтальный отрезок на высоте \(1/2\) от \(x=3\) до \(x=5\), и ноль в остальных точках. (Для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. По оси \(x\) отложите значения, по оси \(y\) - значения \(f(x)\). Отметьте точки \(x=3\) и \(x=5\). На уровне \(y=1/2\) проведите горизонтальную линию от \(x=3\) до \(x=5\). Вне этого интервала график лежит на оси \(x\).) 4. Математическое ожидание \(E(X)\): \[E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4\] 5. Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(5-3)^2}{12} = \frac{2^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] 6. Вероятность попадания в интервал \((c, d)\), то есть \(P(c < X < d)\): \(a=3, b=5, c=4, d=5\). Интервал \((c, d)\) - это \((4, 5)\). \[P(4 < X < 5) = \frac{d-c}{b-a} = \frac{5-4}{5-3} = \frac{1}{2}\]Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!