Решение задачи: Параметры правильного многоугольника

Хорошо, давайте заполним таблицу. В таблице даны параметры правильного многоугольника: n - количество сторон a - длина стороны R - радиус описанной окружности r - радиус вписанной окружности S - площадь многоугольника Для правильного шестиугольника (n=6) существуют следующие формулы, связывающие эти величины: 1. Длина стороны \(a\) через радиус описанной окружности \(R\): \(a = R\) (для правильного шестиугольника) 2. Радиус вписанной окружности \(r\) через длину стороны \(a\): \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) 3. Радиус описанной окружности \(R\) через радиус вписанной окружности \(r\): \(R = \frac{2r}{\sqrt{3}}\) 4. Площадь правильного шестиугольника \(S\) через длину стороны \(a\): \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\) 5. Площадь правильного шестиугольника \(S\) через радиус описанной окружности \(R\): \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\) 6. Площадь правильного шестиугольника \(S\) через радиус вписанной окружности \(r\): \(S = 2\sqrt{3}r^2\) Теперь заполним таблицу по строкам.

Строка 1:

Дано: \(n=6\), \(a=\sqrt{3}\) Найдем \(R\): Поскольку для правильного шестиугольника \(a=R\), то \(R = \sqrt{3}\). Найдем \(r\): \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\). Найдем \(S\): \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}\).

Строка 2:

Дано: \(n=6\), \(R=\sqrt{3}\) Найдем \(a\): Поскольку для правильного шестиугольника \(a=R\), то \(a = \sqrt{3}\). Найдем \(r\): \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\). Найдем \(S\): \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}\).

Строка 3:

Дано: \(n=6\), \(r=\sqrt{3}\) Найдем \(a\): Из формулы \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) выразим \(a\): \(a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\). Найдем \(R\): Поскольку для правильного шестиугольника \(a=R\), то \(R = 2\). (Можно также использовать \(R = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\)). Найдем \(S\): \(S = 2\sqrt{3}r^2 = 2\sqrt{3}(\sqrt{3})^2 = 2\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3}\).

Строка 4:

Дано: \(n=6\), \(S=\sqrt{3}\) Найдем \(a\): Из формулы \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\) выразим \(a^2\): \(a^2 = \frac{2S}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\). \(a = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Найдем \(R\): Поскольку для правильного шестиугольника \(a=R\), то \(R = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Найдем \(r\): \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь заполним таблицу:

n	a	R	r	S
6	\(\sqrt{3}\)	\(\sqrt{3}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(\frac{9\sqrt{3}}{2}\)
6	\(\sqrt{3}\)	\(\sqrt{3}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(\frac{9\sqrt{3}}{2}\)
6	2	2	\(\sqrt{3}\)	\(6\sqrt{3}\)
6	\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)	\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\sqrt{3}\)