Решение задачи 1 Вариант 3: Построение точек пересечения прямой с плоскостями

ВАРИАНТ 3

Задача 1. На рисунке 1 постройте точки пересечения прямой \(MN\) с плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).

Решение:

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью, нужно найти точку, которая принадлежит и прямой, и плоскости.

1. Построение точки пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).

Плоскость \(ABC\) – это нижняя грань куба. Точка \(N\) уже лежит в плоскости \(ABC\) (на ребре \(CD\)). Точка \(M\) лежит на ребре \(A_1B_1\), которое параллельно ребру \(AB\) плоскости \(ABC\).

Чтобы найти точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\), нужно:

1. Провести прямую, содержащую отрезок \(MN\).
2. Найти проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\).
3. Точка пересечения прямой \(MN\) с её проекцией на плоскость \(ABC\) будет искомой точкой.

Более простой способ:

1. Продлим прямую \(MN\) до пересечения с плоскостью \(ABC\).
2. Точка \(N\) уже лежит в плоскости \(ABC\).
3. Проведем прямую через точку \(M\) параллельно ребру \(AA_1\) (или \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\)) до пересечения с плоскостью \(ABC\). Пусть эта точка будет \(M'\). \(M'\) будет лежать на ребре \(AB\).
4. Прямая \(M'N\) лежит в плоскости \(ABC\).
5. Прямая \(MN\) и прямая \(M'N\) лежат в одной плоскости (плоскости, проходящей через \(M, N, M'\)).
6. Точка пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\) будет точкой пересечения прямой \(MN\) с прямой \(M'N\). Однако, это не совсем корректно, так как \(M'N\) – это проекция.

Правильный подход:

1. Прямая \(MN\) лежит в плоскости, проходящей через точки \(M, N\) и, например, \(A_1, B_1, C_1, D_1\) (верхняя грань) и \(A, B, C, D\) (нижняя грань).
2. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую \(MN\) и перпендикулярную плоскости \(ABC\). Например, плоскость \(BCC_1B_1\). Точка \(N\) лежит на \(CD\). Точка \(M\) лежит на \(A_1B_1\).
3. Проведем прямую \(MM_1\) параллельно \(AA_1\) до пересечения с плоскостью \(ABC\). Точка \(M_1\) будет лежать на \(AB\).
4. Прямая \(M_1N\) лежит в плоскости \(ABC\).
5. Прямая \(MN\) и прямая \(M_1N\) лежат в одной плоскости (плоскости, проходящей через \(M, N, M_1\)).
6. Точка пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\) – это точка пересечения прямой \(MN\) с прямой \(M_1N\). Обозначим эту точку как \(K_1\).

2. Построение точки пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(A_1B_1C_1\).

Плоскость \(A_1B_1C_1\) – это верхняя грань куба. Точка \(M\) уже лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\) (на ребре \(A_1B_1\)).

Чтобы найти точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(A_1B_1C_1\), нужно:

1. Продлить прямую \(MN\) до пересечения с плоскостью \(A_1B_1C_1\).
2. Точка \(M\) уже лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\).
3. Проведем прямую \(NN_1\) параллельно \(AA_1\) до пересечения с плоскостью \(A_1B_1C_1\). Точка \(N_1\) будет лежать на \(C_1D_1\).
4. Прямая \(MN_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\).
5. Точка пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(A_1B_1C_1\) – это точка пересечения прямой \(MN\) с прямой \(MN_1\). Обозначим эту точку как \(K_2\).

Построение на рисунке 1:

1. Для плоскости \(ABC\):
   • Из точки \(M\) опустим перпендикуляр на плоскость \(ABC\). Пусть это будет точка \(M'\) на ребре \(AB\).
   • Соединим точки \(M'\) и \(N\). Прямая \(M'N\) лежит в плоскости \(ABC\).
   • Продлим прямую \(MN\) и прямую \(M'N\) до их пересечения. Точка их пересечения \(K_1\) будет искомой точкой пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).
2. Для плоскости \(A_1B_1C_1\):
   • Из точки \(N\) поднимем перпендикуляр на плоскость \(A_1B_1C_1\). Пусть это будет точка \(N'\) на ребре \(C_1D_1\).
   • Соединим точки \(M\) и \(N'\). Прямая \(MN'\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\).
   • Продлим прямую \(MN\) и прямую \(MN'\) до их пересечения. Точка их пересечения \(K_2\) будет искомой точкой пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(A_1B_1C_1\).

Задача 2. На рисунках 2 и 3 постройте сечения, проходящие через указанные точки.

Решение:

Рисунок 2: Точки \(A, M, N\).

Точки: \(A\) (вершина куба), \(M\) (на ребре \(D_1C_1\)), \(N\) (на ребре \(BC\)).

Построение сечения:

1. Соединим точки, лежащие в одной грани.
   • Точка \(N\) лежит на ребре \(BC\). Точка \(A\) лежит в плоскости \(ABCD\). Соединить \(A\) и \(N\) можно, так как они лежат в плоскости нижней грани \(ABCD\). Отрезок \(AN\) – это одна из сторон сечения.
2. Найдем точки пересечения плоскости сечения с другими гранями.
   • Прямая \(AN\) лежит в плоскости \(ABCD\).
   • Прямая \(MN\) лежит в плоскости, проходящей через \(M, N\).
   • Рассмотрим грань \(BCC_1B_1\). Точка \(N\) лежит на \(BC\).
   • Рассмотрим грань \(CDD_1C_1\). Точка \(M\) лежит на \(D_1C_1\).
   • Рассмотрим грань \(ADD_1A_1\). Точка \(A\) лежит на \(AD\).
   • Рассмотрим грань \(A_1B_1C_1D_1\). Точка \(M\) лежит на \(D_1C_1\).
3. Используем метод следов или параллельных сечений.
   • Соединим \(A\) и \(N\). Это отрезок \(AN\).
   • Точка \(M\) лежит на \(D_1C_1\).
   • Проведем прямую через \(M\) параллельно \(AN\) (если это возможно, но здесь не так).
   • Найдем след плоскости сечения на грани \(CDD_1C_1\). Точка \(M\) уже есть. Точка \(N\) лежит на \(BC\). Продлим \(BC\) и \(CD\) до пересечения.
   • Рассмотрим плоскость \(ABCD\). В ней лежит \(AN\).
   • Рассмотрим плоскость \(A_1B_1C_1D_1\). В ней лежит \(M\).
   • Проведем прямую через \(M\) параллельно \(AD\) до пересечения с \(A_1D_1\). Пусть это будет \(M'\).
   • Проведем прямую через \(N\) параллельно \(CD\) до пересечения с \(AD\). Пусть это будет \(N'\).
   • Это не помогает напрямую.
4. Более систематический подход:
   • Соединим \(A\) и \(N\).
   • Точка \(M\) лежит на \(D_1C_1\).
   • Найдем точку пересечения прямой \(AN\) с прямой \(CD\). Пусть это будет \(X\). (Продлим \(AN\) и \(CD\)).
   • Точка \(X\) лежит в плоскости \(ABCD\).
   • Точка \(M\) лежит в плоскости \(CDD_1C_1\).
   • Прямая \(XM\) лежит в плоскости \(CDD_1C_1\).
   • Прямая \(XM\) пересекает ребро \(DD_1\) в некоторой точке \(P\). Отрезок \(MP\) – это сторона сечения.
   • Прямая \(XM\) пересекает ребро \(CC_1\) в некоторой точке \(Q\). Отрезок \(MQ\) – это сторона сечения.
   • Теперь у нас есть точки \(A, N, P\) (или \(Q\)).
   • Соединим \(A\) и \(P\). Отрезок \(AP\) – это сторона сечения.
   • Соединим \(N\) и \(Q\). Отрезок \(NQ\) – это сторона сечения.
   • Если \(M\) на \(D_1C_1\), \(N\) на \(BC\), \(A\) – вершина.
     • Соединим \(A\) и \(N\).
     • Продлим \(AN\) до пересечения с прямой \(CD\). Пусть это будет точка \(K\).
     • Точка \(K\) лежит в плоскости \(ABCD\).
     • Точка \(M\) лежит в плоскости \(CDD_1C_1\).
     • Прямая \(KM\) лежит в плоскости \(CDD_1C_1\).
     • Прямая \(KM\) пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(P\).
     • Прямая \(KM\) пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(Q\).
     • Если \(M\) находится на \(D_1C_1\), то \(KM\) пересечет \(DD_1\) в \(P\).
     • Соединим \(A\) и \(P\).
     • Соединим \(M\) и \(P\).
     • Соединим \(M\) и \(N\).
     • Сечение будет \(ANMP\).

Рисунок 3: Точки \(P, M, N\).

Точки: \(P\) (на ребре \(A_1B_1\)), \(M\) (на ребре \(AD\)), \(N\) (на ребре \(CD\)).

Построение сечения:

1. Соединим точки, лежащие в одной грани.
   • Точки \(M\) и \(N\) лежат в плоскости нижней грани \(ABCD\). Соединим \(M\) и \(N\). Отрезок \(MN\) – это одна из сторон сечения.
2. Найдем точки пересечения плоскости сечения с другими гранями.
   • Точка \(P\) лежит на ребре \(A_1B_1\).
   • Прямая \(MN\) лежит в плоскости \(ABCD\).
   • Проведем прямую через \(P\) параллельно \(MN\) (если это возможно).
   • Найдем след плоскости сечения на грани \(ADD_1A_1\). Точка \(M\) уже есть. Точка \(P\) лежит на \(A_1B_1\).
   • Продлим \(AD\) и \(A_1D_1\).
   • Рассмотрим плоскость \(ADD_1A_1\). В ней лежит \(M\).
   • Рассмотрим плоскость \(ABB_1A_1\). В ней лежит \(P\).
   • Проведем прямую через \(M\) параллельно \(AA_1\) до пересечения с \(A_1D_1\). Пусть это будет \(M'\).
   • Проведем прямую через \(N\) параллельно \(DD_1\) до пересечения с \(C_1D_1\). Пусть это будет \(N'\).
   • Это не помогает напрямую.
3. Более систематический подход:
   • Соединим \(M\) и \(N\).
   • Точка \(P\) лежит на \(A_1B_1\).
   • Найдем точку пересечения прямой \(MN\) с прямой \(AD\). Пусть это будет \(X\). (Продлим \(MN\) и \(AD\)).
   • Точка \(X\) лежит в плоскости \(ADD_1A_1\).
   • Точка \(P\) лежит в плоскости \(ABB_1A_1\).
   • Прямая \(XP\) лежит в плоскости \(ADD_1A_1\) и \(ABB_1A_1\).
   • Прямая \(XP\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(Q\). Отрезок \(PQ\) – это сторона сечения.
   • Прямая \(XP\) пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(R\). Отрезок \(MR\) – это сторона сечения.
   • Теперь у нас есть точки \(P, M, N, Q, R\).
   • Соединим \(P\) и \(Q\).
   • Соединим \(Q\) и \(M\).
   • Соединим \(N\) и \(R\).
   • Соединим \(R\) и \(P\).
   • Сечение будет \(PMNQR\).
   • Если \(M\) на \(AD\), \(N\) на \(CD\), \(P\) на \(A_1B_1\).
     • Соединим \(M\) и \(N\).
     • Продлим \(MN\) до пересечения с прямой \(AD\). Пусть это будет точка \(K\).
     • Точка \(K\) лежит в плоскости \(ADD_1A_1\).
     • Точка \(P\) лежит в плоскости \(ABB_1A_1\).
     • Прямая \(KP\) лежит в плоскости \(ADD_1A_1\) и \(ABB_1A_1\).
     • Прямая \(KP\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(Q\).
     • Прямая \(KP\) пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(R\).
     • Соединим \(P\) и \(Q\).
     • Соединим \(Q\) и \(M\).
     • Соединим \(N\) и \(R\).
     • Соединим \(R\) и \(P\).
     • Сечение будет \(PMNQR\).

Важное замечание для школьника: При выполнении этих построений в тетради, необходимо использовать линейку и карандаш. Все вспомогательные линии (продления прямых, перпендикуляры) должны быть тонкими, а линии сечения – более жирными или выделенными другим цветом.

Для наглядности, на рисунках нужно будет дорисовать эти линии и точки.