1 вариант
1) Дан числовой набор: 6, -12, 12, 3, -3, 0, 8, 10. Найдите для данного набора чисел:
Сначала упорядочим числовой набор по возрастанию:
-12, -3, 0, 3, 6, 8, 10, 12
Всего в наборе 8 чисел.
а) среднее арифметическое;
Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и разделить на их количество.
Сумма чисел: \(6 + (-12) + 12 + 3 + (-3) + 0 + 8 + 10 = 6 - 12 + 12 + 3 - 3 + 0 + 8 + 10 = 24\)
Количество чисел: 8
Среднее арифметическое: \(24 \div 8 = 3\)
Ответ: Среднее арифметическое равно 3.
б) медиану;
Медиана – это число, которое находится посередине упорядоченного ряда чисел. Если количество чисел четное, то медиана – это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.
Упорядоченный ряд: -12, -3, 0, 3, 6, 8, 10, 12
Посередине стоят числа 3 и 6.
Медиана: \((3 + 6) \div 2 = 9 \div 2 = 4,5\)
Ответ: Медиана равна 4,5.
в) размах;
Размах – это разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе.
Наибольшее число: 12
Наименьшее число: -12
Размах: \(12 - (-12) = 12 + 12 = 24\)
Ответ: Размах равен 24.
2) Найдите объединение и пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел: 28073 и 890734.
Множество цифр числа 28073: \(A = \{2, 8, 0, 7, 3\}\)
Множество цифр числа 890734: \(B = \{8, 9, 0, 7, 3, 4\}\)
Объединение множеств \(A \cup B\): это множество, содержащее все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств.
\(A \cup B = \{0, 2, 3, 4, 7, 8, 9\}\)
Пересечение множеств \(A \cap B\): это множество, содержащее только те элементы, которые есть в обоих множествах.
\(A \cap B = \{0, 3, 7, 8\}\)
Ответ: Объединение множеств: \(\{0, 2, 3, 4, 7, 8, 9\}\). Пересечение множеств: \(\{0, 3, 7, 8\}\).
3) Составьте не менее 9 слов, буквы которых образуют подмножество множества \(A=\{в,е,р,о,я,т,н,о,с,т,ь\}\).
Множество букв: \(A = \{в, е, р, о, я, т, н, о, с, т, ь\}\)
Обратите внимание, что буква "о" встречается дважды в исходном множестве, но в множестве элементов она указывается один раз. Буква "т" также встречается дважды. Это означает, что мы можем использовать эти буквы в словах, но их наличие в слове не должно превышать их количество в исходном наборе букв, если бы это был не набор, а список. Однако, поскольку это множество, каждая буква считается уникальной. То есть, мы можем использовать буквы "в", "е", "р", "о", "я", "т", "н", "с", "ь".
Примеры слов:
- Вера
- Рот
- Нос
- Свет
- Вето
- Трон
- Рост
- Сорт
- Весна (если считать "н" и "а" из других букв, но здесь "а" нет. Исправим.)
- Весна (не подходит, нет "а")
- Сорт
- Трос
- Вес
- Свет
- Ров
- Торс
- Сор
- Рев
- Сон
- Овен
Давайте составим слова, используя только буквы из множества \(A = \{в, е, р, о, я, т, н, с, ь\}\):
- Вес
- Рот
- Нос
- Сор
- Торс
- Трос
- Вето
- Свет
- Ров
- Овен
- Сон
- Рев
Вот 12 слов, составленных из букв данного множества.
4) Начертите два четырехугольника так, чтобы их пересечением был:
а) отрезок
Нарисуйте два прямоугольника, которые касаются друг друга одной из сторон или частью стороны. Например, один прямоугольник расположен слева, другой справа, и они соприкасаются по вертикальной линии. Эта линия и будет отрезком.
(Здесь нужно нарисовать. Представьте два прямоугольника, которые соприкасаются одной из сторон. Например, прямоугольник 1: вершины (0,0), (2,0), (2,3), (0,3). Прямоугольник 2: вершины (2,1), (4,1), (4,4), (2,4). Их пересечение - отрезок от (2,1) до (2,3).)
б) четырехугольник
Нарисуйте два четырехугольника, которые частично накладываются друг на друга, и область их наложения также является четырехугольником. Например, два прямоугольника, один из которых немного заходит на другой.
(Здесь нужно нарисовать. Представьте два прямоугольника, которые пересекаются, образуя в центре еще один прямоугольник. Например, прямоугольник 1: вершины (0,0), (5,0), (5,5), (0,5). Прямоугольник 2: вершины (3,3), (8,3), (8,8), (3,8). Их пересечение - прямоугольник с вершинами (3,3), (5,3), (5,5), (3,5).)
в) точка
Нарисуйте два четырехугольника, которые касаются друг друга только в одной точке (вершиной к вершине).
(Здесь нужно нарисовать. Представьте два прямоугольника, которые касаются только одной вершиной. Например, прямоугольник 1: вершины (0,0), (2,0), (2,2), (0,2). Прямоугольник 2: вершины (2,2), (4,2), (4,4), (2,4). Их пересечение - точка (2,2).)
5) Изобразите на диаграмме Эйлера множества A и B, для которых выполняются соотношения:
а) \(A \cap B = A\)
Это соотношение означает, что пересечение множеств A и B равно множеству A. Это возможно только в том случае, если множество A полностью содержится в множестве B. То есть, A является подмножеством B (\(A \subset B\)).
(На диаграмме Эйлера это будет выглядеть как большой круг (множество B), внутри которого находится меньший круг (множество A).)
б) \(A \cup B = A\)
Это соотношение означает, что объединение множеств A и B равно множеству A. Это возможно только в том случае, если множество B полностью содержится в множестве A. То есть, B является подмножеством A (\(B \subset A\)).
(На диаграмме Эйлера это будет выглядеть как большой круг (множество A), внутри которого находится меньший круг (множество B).)
в) \(A \cup B = \emptyset\)
Это соотношение означает, что объединение множеств A и B равно пустому множеству. Это возможно только в том случае, если оба множества A и B являются пустыми множествами (\(A = \emptyset\) и \(B = \emptyset\)).
(На диаграмме Эйлера это будет выглядеть как отсутствие каких-либо кругов, или два круга, которые не содержат элементов и не видны.)
6) Найти пересечение и объединение числовых промежутков \([-4; +\infty)\) и \([3; +\infty)\).
Даны два числовых промежутка:
\(P_1 = [-4; +\infty)\) (все числа от -4 включительно до плюс бесконечности)
\(P_2 = [3; +\infty)\) (все числа от 3 включительно до плюс бесконечности)
Пересечение промежутков (\(P_1 \cap P_2\)): это множество чисел, которые принадлежат обоим промежуткам одновременно.
На числовой прямой:
Промежуток \([-4; +\infty)\) начинается с -4 и идет вправо.
Промежуток \([3; +\infty)\) начинается с 3 и идет вправо.
Общая часть этих промежутков начинается с 3 и также идет вправо до бесконечности.
\(P_1 \cap P_2 = [3; +\infty)\)
Объединение промежутков (\(P_1 \cup P_2\)): это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков.
На числовой прямой:
Промежуток \([-4; +\infty)\) включает все числа, начиная с -4.
Промежуток \([3; +\infty)\) включает все числа, начиная с 3.
Если мы объединим эти два промежутка, то получим все числа, начиная с наименьшего из них, то есть с -4, и до бесконечности.
\(P_1 \cup P_2 = [-4; +\infty)\)
Ответ: Пересечение промежутков: \([3; +\infty)\). Объединение промежутков: \([-4; +\infty)\).