Решение: Коэффициент корреляции и уравнение регрессии при силикозе

Задача 1. Определить коэффициент корреляции между насыщением крови кислородом (X) и объемом одного эритроцита (Y) у больных силикозом. Построить график рассеяния и найти уравнение регрессии. Данные: | X | 94,3 | 94,0 | 93,8 | 93,0 | 92,5 | 92,0 | 92,0 | 92,0 | 91,3 | 91,0 | 90,8 | |---|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------| | Y | 78 | 90 | 108 | 114 | 130 | 118 | 130 | 140 | 140 | 138 | 144 | Решение: 1. Найдем средние значения для X и Y. Количество наблюдений \(n = 11\). \[ \bar{X} = \frac{\sum X}{n} \] \[ \bar{X} = \frac{94,3 + 94,0 + 93,8 + 93,0 + 92,5 + 92,0 + 92,0 + 92,0 + 91,3 + 91,0 + 90,8}{11} = \frac{1018,7}{11} \approx 92,61 \] \[ \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} \] \[ \bar{Y} = \frac{78 + 90 + 108 + 114 + 130 + 118 + 130 + 140 + 140 + 138 + 144}{11} = \frac{1330}{11} \approx 120,91 \] 2. Рассчитаем необходимые суммы для коэффициента корреляции Пирсона и уравнения регрессии. Создадим вспомогательную таблицу: | X | Y | \(X - \bar{X}\) | \(Y - \bar{Y}\) | \((X - \bar{X})^2\) | \((Y - \bar{Y})^2\) | \((X - \bar{X})(Y - \bar{Y})\) | |-------|-------|-----------------|-----------------|---------------------|---------------------|---------------------------------| | 94,3 | 78 | 1,69 | -42,91 | 2,8561 | 1841,2681 | -72,5239 | | 94,0 | 90 | 1,39 | -30,91 | 1,9321 | 955,4281 | -42,9649 | | 93,8 | 108 | 1,19 | -12,91 | 1,4161 | 166,6681 | -15,3649 | | 93,0 | 114 | 0,39 | -6,91 | 0,1521 | 47,7481 | -2,6949 | | 92,5 | 130 | -0,11 | 9,09 | 0,0121 | 82,6281 | -1,0000 | | 92,0 | 118 | -0,61 | -2,91 | 0,3721 | 8,4681 | 1,7751 | | 92,0 | 130 | -0,61 | 9,09 | 0,3721 | 82,6281 | -5,5449 | | 92,0 | 140 | -0,61 | 19,09 | 0,3721 | 364,4281 | -11,6549 | | 91,3 | 140 | -1,31 | 19,09 | 1,7161 | 364,4281 | -24,9979 | | 91,0 | 138 | -1,61 | 17,09 | 2,5921 | 292,0681 | -27,5149 | | 90,8 | 144 | -1,81 | 23,09 | 3,2761 | 533,1481 | -41,7749 | | **Сумма** | **1018,7** | **1330** | **0** | **0** | **15,6841** | **4149,8481** | **-244,8600** | * \( \sum (X - \bar{X})^2 = 15,6841 \) * \( \sum (Y - \bar{Y})^2 = 4149,8481 \) * \( \sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y}) = -244,8600 \) 3. Рассчитаем коэффициент корреляции Пирсона (r). Формула для коэффициента корреляции Пирсона: \[ r = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X - \bar{X})^2 \sum (Y - \bar{Y})^2}} \] \[ r = \frac{-244,8600}{\sqrt{15,6841 \cdot 4149,8481}} \] \[ r = \frac{-244,8600}{\sqrt{65034,001}} \] \[ r = \frac{-244,8600}{255,0176} \] \[ r \approx -0,960 \] Вывод: Коэффициент корреляции \(r \approx -0,960\) указывает на сильную обратную линейную зависимость между насыщением крови кислородом (X) и объемом одного эритроцита (Y). Это означает, что с уменьшением насыщения крови кислородом объем эритроцитов увеличивается. 4. Построим график рассеяния. Для построения графика рассеяния на горизонтальной оси (ось X) отложим значения насыщения крови кислородом, а на вертикальной оси (ось Y) — значения объема эритроцитов. Каждая пара (X, Y) будет точкой на графике. (Здесь должен быть график рассеяния. Поскольку я текстовый помощник, я не могу нарисовать его напрямую. Но я могу описать, как он будет выглядеть: точки будут располагаться вдоль линии, идущей сверху слева вниз вправо, что подтверждает отрицательную корреляцию.) Примерный вид графика: * Ось X: от 90 до 95 * Ось Y: от 70 до 150 * Точки: (94.3, 78), (94.0, 90), (93.8, 108), (93.0, 114), (92.5, 130), (92.0, 118), (92.0, 130), (92.0, 140), (91.3, 140), (91.0, 138), (90.8, 144). * Визуально точки будут образовывать нисходящую линию. 5. Найдем уравнение регрессии. Уравнение линейной регрессии имеет вид: \( \hat{Y} = a + bX \), где \( \hat{Y} \) - предсказанное значение Y. Сначала найдем коэффициент \(b\): \[ b = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sum (X - \bar{X})^2} \] \[ b = \frac{-244,8600}{15,6841} \] \[ b \approx -15,612 \] Затем найдем коэффициент \(a\): \[ a = \bar{Y} - b\bar{X} \] \[ a = 120,91 - (-15,612) \cdot 92,61 \] \[ a = 120,91 + 1445,69 \] \[ a \approx 1566,60 \] Таким образом, уравнение регрессии: \[ \hat{Y} = 1566,60 - 15,612X \] Вывод: Уравнение регрессии показывает, что при увеличении насыщения крови кислородом (X) на 1 единицу, объем эритроцитов (Y) в среднем уменьшается на 15,612 единиц. Ответы: 1. Коэффициент корреляции Пирсона: \( r \approx -0,960 \) 2. График рассеяния: (описание графика выше) 3. Уравнение регрессии: \( \hat{Y} = 1566,60 - 15,612X \)