Задача:
На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж?
Решение:
Для решения этой задачи мы будем использовать метод подсчета путей, двигаясь от начального города к конечному, учитывая условие прохождения через город Ж.
Шаг 1: Подсчитаем количество путей из города А в город Ж.
Обозначим количество путей из города А в каждый город как \(N(\text{город})\).
- \(N(\text{А}) = 1\) (начальная точка)
- \(N(\text{Б})\): В город Б можно попасть из А. Значит, \(N(\text{Б}) = N(\text{А}) = 1\).
- \(N(\text{В})\): В город В можно попасть из А и Б. Значит, \(N(\text{В}) = N(\text{А}) + N(\text{Б}) = 1 + 1 = 2\).
- \(N(\text{Г})\): В город Г можно попасть из А и В. Значит, \(N(\text{Г}) = N(\text{А}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\).
- \(N(\text{Д})\): В город Д можно попасть из А и Г. Значит, \(N(\text{Д}) = N(\text{А}) + N(\text{Г}) = 1 + 3 = 4\).
- \(N(\text{Е})\): В город Е можно попасть из Б и В. Значит, \(N(\text{Е}) = N(\text{Б}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\).
- \(N(\text{З})\): В город З можно попасть из Г, Д и Е. Значит, \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 3 + 4 + 3 = 10\).
- \(N(\text{Ж})\): В город Ж можно попасть из В, Е и З. Значит, \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 10 = 15\).
Итак, количество путей из города А в город Ж равно 15.
Шаг 2: Подсчитаем количество путей из города Ж в город М.
Теперь, считая город Ж начальной точкой для второй части пути, обозначим количество путей из Ж в каждый последующий город как \(N'(\text{город})\).
- \(N'(\text{Ж}) = 1\) (начальная точка для этой части пути)
- \(N'(\text{И})\): В город И можно попасть из Ж. Значит, \(N'(\text{И}) = N'(\text{Ж}) = 1\).
- \(N'(\text{К})\): В город К можно попасть из И. Значит, \(N'(\text{К}) = N'(\text{И}) = 1\).
- \(N'(\text{Л})\): В город Л можно попасть из И. Значит, \(N'(\text{Л}) = N'(\text{И}) = 1\).
- \(N'(\text{М})\): В город М можно попасть из К и Л. Значит, \(N'(\text{М}) = N'(\text{К}) + N'(\text{Л}) = 1 + 1 = 2\).
Итак, количество путей из города Ж в город М равно 2.
Шаг 3: Вычислим общее количество путей из города А в город М, проходящих через город Ж.
Общее количество путей равно произведению количества путей из А в Ж и количества путей из Ж в М.
Общее количество путей = \(N(\text{Ж}) \times N'(\text{М}) = 15 \times 2 = 30\).
Проверка вариантов ответа:
В предложенных вариантах ответа нет числа 30. Давайте перепроверим расчеты, возможно, я допустил ошибку или неверно интерпретировал граф.
Пересчитаем пути в город Ж:
- \(N(\text{А}) = 1\)
- \(N(\text{Б}) = N(\text{А}) = 1\)
- \(N(\text{В}) = N(\text{А}) + N(\text{Б}) = 1 + 1 = 2\)
- \(N(\text{Г}) = N(\text{А}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\)
- \(N(\text{Д}) = N(\text{А}) + N(\text{Г}) = 1 + 3 = 4\)
- \(N(\text{Е}) = N(\text{Б}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\)
- \(N(\text{З})\): В З ведут стрелки из Г, Д, Е. \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 3 + 4 + 3 = 10\).
- \(N(\text{Ж})\): В Ж ведут стрелки из В, Е, З. \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 10 = 15\).
Расчет путей до Ж верен.
Пересчитаем пути из Ж в М:
- \(N(\text{Ж}) = 1\) (для этой части пути)
- \(N(\text{И}) = N(\text{Ж}) = 1\)
- \(N(\text{К}) = N(\text{И}) = 1\)
- \(N(\text{Л}) = N(\text{И}) = 1\)
- \(N(\text{М}) = N(\text{К}) + N(\text{Л}) = 1 + 1 = 2\)
Расчет путей из Ж в М верен.
Общее количество путей = \(15 \times 2 = 30\).
Возможно, я неправильно прочитал граф или есть скрытые условия. Давайте внимательно посмотрим на граф еще раз.
Повторный анализ графа:
Пути до Ж:
- А -> Б -> В -> Ж (1 путь)
- А -> В -> Ж (1 путь)
- А -> Б -> Е -> Ж (1 путь)
- А -> В -> Е -> Ж (1 путь)
- А -> Г -> З -> Ж (1 путь)
- А -> В -> Г -> З -> Ж (1 путь)
- А -> Д -> З -> Ж (1 путь)
- А -> Г -> Д -> З -> Ж (1 путь)
- А -> Б -> Е -> З -> Ж (1 путь)
- А -> В -> Е -> З -> Ж (1 путь)
Это ручной перебор, который может быть сложным и подвержен ошибкам. Метод подсчета вершин более надежен.
Давайте еще раз проверим подсчет для каждой вершины:
- \(N(\text{А}) = 1\)
- \(N(\text{Б}) = N(\text{А}) = 1\)
- \(N(\text{В}) = N(\text{А}) + N(\text{Б}) = 1 + 1 = 2\)
- \(N(\text{Г}) = N(\text{А}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\)
- \(N(\text{Д}) = N(\text{А}) + N(\text{Г}) = 1 + 3 = 4\)
- \(N(\text{Е}) = N(\text{Б}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\)
- \(N(\text{З})\): В З ведут стрелки из Г, Д, Е. \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 3 + 4 + 3 = 10\).
- \(N(\text{Ж})\): В Ж ведут стрелки из В, Е, З. \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 10 = 15\).
Все верно, 15 путей до Ж.
Пути из Ж в М:
- Ж -> И -> К -> М (1 путь)
- Ж -> И -> Л -> М (1 путь)
Все верно, 2 пути из Ж в М.
Общее количество путей = \(15 \times 2 = 30\).
Поскольку 30 нет среди вариантов ответа (21, 20, 17, 14), это указывает на то, что либо в задаче ошибка, либо я что-то упустил в интерпретации графа. Однако, при стандартном подходе к таким задачам, мой расчет верен.
Давайте еще раз внимательно посмотрим на стрелки и города. Возможно, есть стрелка, которую я не учел или учел дважды.
Граф выглядит стандартно, без каких-либо необычных элементов. Все стрелки направлены "вперед", циклов нет.
Предположим, что один из вариантов ответа верен, и попробуем найти, где могла быть ошибка, если бы ответ был, например, 21.
Если бы ответ был 21, то либо \(N(\text{Ж})\) было бы 21/2 = 10.5 (невозможно), либо \(N'(\text{М})\) было бы 21/15 = 1.4 (невозможно).
Давайте еще раз перепроверим пути до Ж, возможно, я пропустил какую-то стрелку или наоборот, посчитал лишнюю.
В город В: А->В, Б->В. \(N(\text{В}) = N(\text{А}) + N(\text{Б}) = 1 + 1 = 2\). (Верно)
В город Г: А->Г, В->Г. \(N(\text{Г}) = N(\text{А}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\). (Верно)
В город Д: А->Д, Г->Д. \(N(\text{Д}) = N(\text{А}) + N(\text{Г}) = 1 + 3 = 4\). (Верно)
В город Е: Б->Е, В->Е. \(N(\text{Е}) = N(\text{Б}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\). (Верно)
В город З: Г->З, Д->З, Е->З. \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 3 + 4 + 3 = 10\). (Верно)
В город Ж: В->Ж, Е->Ж, З->Ж. \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 10 = 15\). (Верно)
Все расчеты до города Ж кажутся абсолютно верными.
Пути из Ж в М:
В город И: Ж->И. \(N(\text{И}) = N(\text{Ж}) = 1\). (Верно)
В город К: И->К. \(N(\text{К}) = N(\text{И}) = 1\). (Верно)
В город Л: И->Л. \(N(\text{Л}) = N(\text{И}) = 1\). (Верно)
В город М: К->М, Л->М. \(N(\text{М}) = N(\text{К}) + N(\text{Л}) = 1 + 1 = 2\). (Верно)
Все расчеты из города Ж в город М также кажутся абсолютно верными.
Итоговое произведение \(15 \times 2 = 30\).
Если бы это был экзамен, и я получил бы 30, а такого варианта нет, я бы перепроверил все еще раз, но при отсутствии ошибок в расчетах, это может указывать на ошибку в самой задаче или вариантах ответа.
Однако, если нужно выбрать из предложенных вариантов, то это проблема. В таких случаях иногда предполагается, что нужно выбрать ближайший вариант, но это не является математически корректным подходом.
Давайте еще раз посмотрим на граф, возможно, я пропустил какую-то тонкость. Например, иногда стрелки могут быть нарисованы так, что кажется, что они идут в одну сторону, но на самом деле это не так. Но здесь все стрелки четко обозначены.
Предположим, что в городе Ж есть только 10 путей, а не 15. Тогда \(10 \times 2 = 20\). Вариант 20 есть. Если \(N(\text{Ж})\) было бы 10, то это означало бы, что \(N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 10\). Но у нас \(2 + 3 + 10 = 15\). Чтобы получить 10, нужно, чтобы, например, \(N(\text{З})\) было 5, а не 10. Если \(N(\text{З}) = 5\), то \(N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 5\). Но у нас \(3 + 4 + 3 = 10\). Это означает, что для получения 20, нужно, чтобы где-то в расчетах до Ж была ошибка, которая уменьшила бы количество путей в 1.5 раза.
Давайте еще раз проверим, нет ли каких-то "лишних" стрелок, которые я мог бы не учесть, или "запрещенных" путей.
Например, если бы путь А-Д-З-Ж был запрещен, то \(N(\text{Д})\) не влияло бы на \(N(\text{З})\). Но такого условия нет.
Единственный способ получить один из предложенных ответов - это если в графе есть ошибка или я неправильно его интерпретирую. Но при стандартной интерпретации графа, ответ 30.
Если бы я был школьником и мне нужно было бы выбрать ответ, я бы выбрал 20, если бы был уверен, что где-то ошибся в расчетах, но не мог найти ошибку. Однако, я не могу найти ошибку в своих расчетах.
Давайте еще раз перепроверим все пути до Ж вручную, чтобы убедиться:
Пути до Ж:
- А-Б-В-Ж
- А-В-Ж
- А-Б-Е-Ж
- А-В-Е-Ж
- А-Г-З-Ж
- А-В-Г-З-Ж
- А-Д-З-Ж
- А-Г-Д-З-Ж
- А-Б-Е-З-Ж
- А-В-Е-З-Ж
Это 10 путей. Где же остальные 5?
Давайте еще раз по вершинам:
- \(N(\text{А}) = 1\)
- \(N(\text{Б}) = 1\) (А)
- \(N(\text{В}) = N(\text{А}) + N(\text{Б}) = 1 + 1 = 2\) (А->В, А->Б->В)
- \(N(\text{Г}) = N(\text{А}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\) (А->Г, А->В->Г, А->Б->В->Г)
- \(N(\text{Д}) = N(\text{А}) + N(\text{Г}) = 1 + 3 = 4\) (А->Д, А->Г->Д, А->В->Г->Д, А->Б->В->Г->Д)
- \(N(\text{Е}) = N(\text{Б}) + N(\text{В}) = 1 + 2 = 3\) (А->Б->Е, А->В->Е, А->Б->В->Е)
- \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 3 + 4 + 3 = 10\)
- \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 10 = 15\)
Мои расчеты по вершинам верны. Ручной перебор, который я сделал выше, был неполным. Давайте попробуем перечислить все 15 путей до Ж:
Пути до Ж:
- А-Б-В-Ж
- А-В-Ж
- А-Б-Е-Ж
- А-В-Е-Ж
- А-Г-З-Ж
- А-В-Г-З-Ж
- А-Б-В-Г-З-Ж
- А-Д-З-Ж
- А-Г-Д-З-Ж
- А-В-Г-Д-З-Ж
- А-Б-В-Г-Д-З-Ж
- А-Б-Е-З-Ж
- А-В-Е-З-Ж
- А-Б-В-Е-З-Ж
- А-Г-Д-Е-З-Ж (нет, Д не ведет в Е)
Ручной перебор очень сложен и подвержен ошибкам. Метод подсчета по вершинам является стандартным и наиболее надежным.
Если ответ 30, а его нет, то это проблема с задачей. Однако, если нужно выбрать из предложенных, и я должен был бы "подогнать" ответ, то я бы искал, где можно было бы ошибиться, чтобы получить 21, 20, 17 или 14.
Предположим, что в город З ведет только 5 путей, а не 10. Тогда \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + 5 = 2 + 3 + 5 = 10\). Тогда общее количество путей \(10 \times 2 = 20\). Это один из вариантов ответа.
Почему \(N(\text{З})\) могло бы быть 5?
В З ведут Г, Д, Е. \(N(\text{Г}) = 3\) \(N(\text{Д}) = 4\) \(N(\text{Е}) = 3\) Сумма \(3+4+3 = 10\).
Чтобы получить 5, нужно, чтобы, например, не было пути из Д в З, или из Е в З, или из Г в З. Но на схеме все эти стрелки присутствуют.
Давайте еще раз внимательно посмотрим на стрелки, ведущие в З:
- Г -> З
- Д -> З
- Е -> З
Все три стрелки присутствуют.
Возможно, есть какая-то стрелка, которую я не вижу или неправильно интерпретирую.
Например, если бы стрелка из Д в З отсутствовала, то \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Е}) = 3 + 3 = 6\). Тогда \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 6 = 11\). Тогда общее количество путей \(11 \times 2 = 22\). Тоже нет в вариантах.
Если бы стрелка из Е в З отсутствовала, то \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Д}) = 3 + 4 = 7\). Тогда \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 7 = 12\). Тогда общее количество путей \(12 \times 2 = 24\). Тоже нет в вариантах.
Если бы стрелка из Г в З отсутствовала, то \(N(\text{З}) = N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 4 + 3 = 7\). Тогда \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 7 = 12\). Тогда общее количество путей \(12 \times 2 = 24\). Тоже нет в вариантах.
Единственный способ получить 20 - это если \(N(\text{Ж})\) было бы 10. Для этого \(N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 10\). \(2 + 3 + N(\text{З}) = 10 \Rightarrow N(\text{З}) = 5\). Для этого \(N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 5\). Но у нас \(3 + 4 + 3 = 10\). Это означает, что сумма путей в Г, Д, Е должна быть в два раза меньше. Это возможно, если, например, пути в Д и Е не учитываются при подсчете путей в З, или если их значения меньше.
Давайте предположим, что в З ведут только Г и Е, а Д не ведет в З. Тогда \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Е}) = 3 + 3 = 6\). Тогда \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 6 = 11\). Общее количество путей \(11 \times 2 = 22\).
Предположим, что в З ведут только Г и Д, а Е не ведет в З. Тогда \(N(\text{З}) = N(\text{Г}) + N(\text{Д}) = 3 + 4 = 7\). Тогда \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 7 = 12\). Общее количество путей \(12 \times 2 = 24\).
Предположим, что в З ведут только Д и Е, а Г не ведет в З. Тогда \(N(\text{З}) = N(\text{Д}) + N(\text{Е}) = 4 + 3 = 7\). Тогда \(N(\text{Ж}) = N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 2 + 3 + 7 = 12\). Общее количество путей \(12 \times 2 = 24\).
Ни один из этих вариантов не дает 20.
Единственный способ получить 20 - это если \(N(\text{Ж}) = 10\). Это означает, что \(N(\text{В}) + N(\text{Е}) + N(\text{З}) = 10\). Так как \(N(\text{В}) = 2\) и \(N(\text{Е}) = 3\), то \(2 + 3 + N(\text{З}) = 10 \Rightarrow N(\text{З}) = 5\). Чтобы \(N(\text{З})\) было 5, при том, что \(N(\text{Г})=3\), \(N(\text{Д})=4\), \(N(\text{Е})=3\), нужно, чтобы сумма \(N(\text{Г}) + N(\text{Д}) + N(\text{Е})\) была 5. Это возможно, если, например, \(N(\text{Г})=1\), \(N(\text{Д})=1\), \(N(\text{Е})=3\). Но это противоречит нашим расчетам.
Вывод:
Согласно стандартному методу подсчета путей в графах, количество различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж, составляет 30.
Поскольку 30 отсутствует среди предложенных вариантов ответа, это указывает на возможную ошибку в условии задачи или в предложенных вариантах ответа.
Если бы мне пришлось выбрать наиболее близкий вариант, то это было бы 21 или 20, но это не является корректным решением.
Окончательный ответ, основанный на строгих расчетах: 30.
Если же требуется выбрать из предложенных вариантов, то задача некорректна.
Для школьника, который переписывает в тетрадь, я бы рекомендовал записать расчеты и полученный ответ 30, а затем добавить примечание о том, что этот ответ отсутствует среди предложенных вариантов.
Ответ: 30