Задача 1. Найти моду: 1, 3, 5, 1, 4, 3, 2, 3
Решение: Мода — это значение, которое чаще всего встречается в наборе данных. Даны числа: 1, 3, 5, 1, 4, 3, 2, 3. Посчитаем, сколько раз встречается каждое число: Число 1 встречается 2 раза. Число 2 встречается 1 раз. Число 3 встречается 3 раза. Число 4 встречается 1 раз. Число 5 встречается 1 раз. Наиболее часто встречается число 3 (3 раза).
Ответ: Мода равна 3.
Задача 2. Найти медиану выборки 4, 1, 8, 9, 13, 10
Решение: Медиана — это среднее значение в упорядоченном наборе данных. Сначала упорядочим числа по возрастанию: 1, 4, 8, 9, 10, 13. Количество чисел в выборке равно 6 (это четное число). Если количество чисел четное, медиана находится как среднее арифметическое двух центральных чисел. Центральные числа в данном случае — это 8 и 9. Медиана \( = \frac{8 + 9}{2} = \frac{17}{2} = 8,5 \)
Ответ: Медиана равна 8,5.
Задача 3. Найти среднее арифметическое значение выборки и размах выборки 24, 5, 13, -8
Решение: Среднее арифметическое значение (или просто среднее) — это сумма всех чисел, деленная на их количество. Размах выборки — это разница между наибольшим и наименьшим значением в выборке. Даны числа: 24, 5, 13, -8. 1. Найдем среднее арифметическое: Сумма чисел: \( 24 + 5 + 13 + (-8) = 24 + 5 + 13 - 8 = 42 - 8 = 34 \) Количество чисел: 4 Среднее арифметическое \( = \frac{34}{4} = 8,5 \) 2. Найдем размах выборки: Наибольшее число: 24 Наименьшее число: -8 Размах выборки \( = 24 - (-8) = 24 + 8 = 32 \)
Ответ: Среднее арифметическое значение равно 8,5. Размах выборки равен 32.
Задача 4. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.
Ряд распределения: \( X_i \): 6, 8, 10, 18, 21 \( P_i \): 0,1, 0,2, 0,1, 0,3, 0,4
Решение: 1. Найдем математическое ожидание \( M(X) \). Математическое ожидание \( M(X) \) вычисляется по формуле: \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i \cdot P_i \] \( M(X) = 6 \cdot 0,1 + 8 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,1 + 18 \cdot 0,3 + 21 \cdot 0,4 \) \( M(X) = 0,6 + 1,6 + 1,0 + 5,4 + 8,4 \) \( M(X) = 17 \) 2. Найдем дисперсию \( D(X) \). Дисперсия \( D(X) \) вычисляется по формуле: \[ D(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \cdot P_i - (M(X))^2 \] Сначала найдем \( \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \cdot P_i \): \( X_i^2 \): \( 6^2=36 \), \( 8^2=64 \), \( 10^2=100 \), \( 18^2=324 \), \( 21^2=441 \) \( \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \cdot P_i = 36 \cdot 0,1 + 64 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,1 + 324 \cdot 0,3 + 441 \cdot 0,4 \) \( = 3,6 + 12,8 + 10 + 97,2 + 176,4 \) \( = 300 \) Теперь подставим это значение и \( M(X) \) в формулу для дисперсии: \( D(X) = 300 - (17)^2 \) \( D(X) = 300 - 289 \) \( D(X) = 11 \)
Ответ: Математическое ожидание \( M(X) = 17 \). Дисперсия \( D(X) = 11 \).
Задача 5. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.
Ряд распределения: \( x \): 3, 9, 12, 17, 23 \( p \): 0,124, 0,243, 0,283, 0,198, 0,467
Решение: Прежде чем начать вычисления, проверим, является ли данный ряд распределением вероятностей. Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. \( \sum p_i = 0,124 + 0,243 + 0,283 + 0,198 + 0,467 \) \( = 0,367 + 0,283 + 0,198 + 0,467 \) \( = 0,650 + 0,198 + 0,467 \) \( = 0,848 + 0,467 \) \( = 1,315 \) Сумма вероятностей равна 1,315, что не равно 1. Это означает, что либо в условии задачи допущена ошибка, либо это неполный ряд распределения. Однако, если требуется найти математическое ожидание и дисперсию, мы будем использовать данные значения как есть, предполагая, что это часть более сложной задачи или ошибка в условии. 1. Найдем математическое ожидание \( M(X) \). \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \] \( M(X) = 3 \cdot 0,124 + 9 \cdot 0,243 + 12 \cdot 0,283 + 17 \cdot 0,198 + 23 \cdot 0,467 \) \( M(X) = 0,372 + 2,187 + 3,396 + 3,366 + 10,741 \) \( M(X) = 20,062 \) 2. Найдем дисперсию \( D(X) \). \[ D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2 \] Сначала найдем \( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i \): \( x_i^2 \): \( 3^2=9 \), \( 9^2=81 \), \( 12^2=144 \), \( 17^2=289 \), \( 23^2=529 \) \( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i = 9 \cdot 0,124 + 81 \cdot 0,243 + 144 \cdot 0,283 + 289 \cdot 0,198 + 529 \cdot 0,467 \) \( = 1,116 + 19,683 + 40,752 + 57,222 + 246,943 \) \( = 365,716 \) Теперь подставим это значение и \( M(X) \) в формулу для дисперсии: \( D(X) = 365,716 - (20,062)^2 \) \( D(X) = 365,716 - 402,483444 \) \( D(X) = -36,767444 \) Полученное значение дисперсии отрицательно, что невозможно для дисперсии. Это еще раз подтверждает, что в исходных данных (вероятностях) задачи есть ошибка. Дисперсия всегда должна быть неотрицательной. Если бы это была реальная задача, нужно было бы уточнить исходные данные. Однако, если требуется выполнить расчеты по предоставленным данным, то результат будет таким.
Ответ: Математическое ожидание \( M(X) = 20,062 \). Дисперсия \( D(X) = -36,767444 \). (Обратите внимание на отрицательное значение дисперсии, что указывает на ошибку в исходных данных).