Решение задач с квадратными корнями (Вариант 1)

Вот решения задач из вашего варианта. Вариант 1 1. Найдите значение выражения: 1) \(0,5\sqrt{1600} - \frac{1}{3}\sqrt{36}\) Решение: \[0,5\sqrt{1600} - \frac{1}{3}\sqrt{36} = 0,5 \cdot 40 - \frac{1}{3} \cdot 6 = 20 - 2 = 18\] Ответ: 18 2) \(\sqrt{0,25 \cdot 81}\) Решение: \[\sqrt{0,25 \cdot 81} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{81} = 0,5 \cdot 9 = 4,5\] Ответ: 4,5 3) \(\sqrt{6^2 \cdot 2^8}\) Решение: \[\sqrt{6^2 \cdot 2^8} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{2^8} = 6 \cdot 2^4 = 6 \cdot 16 = 96\] Ответ: 96 4) \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} - \frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}}\) Решение: \[\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} - \frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}} = \sqrt{20 \cdot 5} - \sqrt{\frac{63}{7}} = \sqrt{100} - \sqrt{9} = 10 - 3 = 7\] Ответ: 7 2. Сравните числа: 1) \(7\sqrt{2}\) и \(6\sqrt{3}\) Решение: Возведем оба числа в квадрат, чтобы сравнить их: \[(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98\] \[(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108\] Так как \(98 < 108\), то \(7\sqrt{2} < 6\sqrt{3}\). Ответ: \(7\sqrt{2} < 6\sqrt{3}\) 2) \(6\sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(4\sqrt{\frac{3}{2}}\) Решение: Возведем оба числа в квадрат: \[(6\sqrt{\frac{2}{3}})^2 = 6^2 \cdot \frac{2}{3} = 36 \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot 2 = 24\] \[(4\sqrt{\frac{3}{2}})^2 = 4^2 \cdot \frac{3}{2} = 16 \cdot \frac{3}{2} = 8 \cdot 3 = 24\] Так как \(24 = 24\), то \(6\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{\frac{3}{2}}\). Ответ: \(6\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{\frac{3}{2}}\) 3. Упростите выражение: 1) \(7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18}\) Решение: \[7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18} = 7\sqrt{2} - 3\sqrt{4 \cdot 2} + 4\sqrt{9 \cdot 2} = 7\sqrt{2} - 3 \cdot 2\sqrt{2} + 4 \cdot 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = (7 - 6 + 12)\sqrt{2} = 13\sqrt{2}\] Ответ: \(13\sqrt{2}\) 2) \((\sqrt{90} - \sqrt{40}) \cdot \sqrt{10}\) Решение: \[(\sqrt{90} - \sqrt{40}) \cdot \sqrt{10} = \sqrt{90 \cdot 10} - \sqrt{40 \cdot 10} = \sqrt{900} - \sqrt{400} = 30 - 20 = 10\] Ответ: 10 3) \((3\sqrt{5} - 2)^2\) Решение: Используем формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[(3\sqrt{5} - 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 9 \cdot 5 - 12\sqrt{5} + 4 = 45 - 12\sqrt{5} + 4 = 49 - 12\sqrt{5}\] Ответ: \(49 - 12\sqrt{5}\) 4) \((2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{5})\) Решение: Используем формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{5}) = (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 3 - 9 \cdot 5 = 12 - 45 = -33\] Ответ: -33 4. Найдите значение выражения \(\sqrt{3x - 5}\) при \(x = 7\). Решение: Подставим \(x = 7\) в выражение: \[\sqrt{3 \cdot 7 - 5} = \sqrt{21 - 5} = \sqrt{16} = 4\] Ответ: 4 5. Расположите числа в порядке: 1) убывания \(\sqrt{43}\), \(2\sqrt{10}\), \(3\sqrt{5}\) Решение: Для сравнения внесем множители под знак корня: \[\sqrt{43}\] \[2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}\] \[3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\] Теперь сравним числа под корнем: \(45 > 43 > 40\). Значит, в порядке убывания: \(3\sqrt{5}\), \(\sqrt{43}\), \(2\sqrt{10}\). Ответ: \(3\sqrt{5}\), \(\sqrt{43}\), \(2\sqrt{10}\) 2) возрастания \(-2\sqrt{50}\), \(-4\sqrt{18}\), \(-\sqrt{162}\) Решение: Для сравнения внесем множители под знак корня. Так как числа отрицательные, чем больше число под корнем (по модулю), тем меньше само число. \[-2\sqrt{50} = -\sqrt{2^2 \cdot 50} = -\sqrt{4 \cdot 50} = -\sqrt{200}\] \[-4\sqrt{18} = -\sqrt{4^2 \cdot 18} = -\sqrt{16 \cdot 18} = -\sqrt{288}\] \[-\sqrt{162}\] Теперь сравним числа под корнем по модулю: \(162 < 200 < 288\). Значит, для отрицательных чисел: \(-\sqrt{288} < -\sqrt{200} < -\sqrt{162}\). В порядке возрастания: \(-4\sqrt{18}\), \(-2\sqrt{50}\), \(-\sqrt{162}\). Ответ: \(-4\sqrt{18}\), \(-2\sqrt{50}\), \(-\sqrt{162}\)