Решение задач на умножение дробей

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Выполните умножение: \(4 \cdot \frac{1}{50}\) Решение: Чтобы умножить целое число на дробь, нужно умножить это число на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения. \[4 \cdot \frac{1}{50} = \frac{4 \cdot 1}{50} = \frac{4}{50}\] Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2. \[\frac{4}{50} = \frac{4 \div 2}{50 \div 2} = \frac{2}{25}\] Ответ: \(\frac{2}{25}\) 2. Выполните умножение: \(\frac{5}{64} \cdot \frac{56}{45}\) Решение: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Перед умножением можно сократить дроби. \[\frac{5}{64} \cdot \frac{56}{45} = \frac{5 \cdot 56}{64 \cdot 45}\] Сократим 5 и 45 на 5: \(5 \div 5 = 1\), \(45 \div 5 = 9\). Сократим 56 и 64 на 8: \(56 \div 8 = 7\), \(64 \div 8 = 8\). \[\frac{1 \cdot 7}{8 \cdot 9} = \frac{7}{72}\] Ответ: \(\frac{7}{72}\) 3. Выполните умножение: \(6\frac{7}{8} \cdot 9\frac{3}{5}\) Решение: Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби. \(6\frac{7}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{48 + 7}{8} = \frac{55}{8}\) \(9\frac{3}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{45 + 3}{5} = \frac{48}{5}\) Теперь выполним умножение: \[\frac{55}{8} \cdot \frac{48}{5} = \frac{55 \cdot 48}{8 \cdot 5}\] Сократим 55 и 5 на 5: \(55 \div 5 = 11\), \(5 \div 5 = 1\). Сократим 48 и 8 на 8: \(48 \div 8 = 6\), \(8 \div 8 = 1\). \[\frac{11 \cdot 6}{1 \cdot 1} = \frac{66}{1} = 66\] Ответ: \(66\) 4. Вычислите: \(6\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3}\) Решение: Переведем смешанное число в неправильную дробь. \(6\frac{3}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{48 + 3}{8} = \frac{51}{8}\) Теперь выполним умножение: \[\frac{51}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{51 \cdot 1}{8 \cdot 3}\] Сократим 51 и 3 на 3: \(51 \div 3 = 17\), \(3 \div 3 = 1\). \[\frac{17 \cdot 1}{8 \cdot 1} = \frac{17}{8}\] Переведем неправильную дробь в смешанное число: \[\frac{17}{8} = 2\frac{1}{8}\] Ответ: \(2\frac{1}{8}\) 5. Вычислите: а) \((\frac{1}{2})^6\); б) \((2\frac{2}{3})^2\). Решение: а) \((\frac{1}{2})^6\) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель. \[(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{64}\] Ответ: \(\frac{1}{64}\) б) \((2\frac{2}{3})^2\) Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь. \(2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{6 + 2}{3} = \frac{8}{3}\) Теперь возведем дробь в квадрат. \[(\frac{8}{3})^2 = \frac{8^2}{3^2} = \frac{8 \cdot 8}{3 \cdot 3} = \frac{64}{9}\] Переведем неправильную дробь в смешанное число. \[\frac{64}{9} = 7\frac{1}{9}\] Ответ: \(7\frac{1}{9}\) 6. Вычислите, пользуясь распределительным законом умножения: \(16 \cdot (2 - \frac{5}{8} + \frac{1}{2})\). Решение: Распределительный закон умножения гласит: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\). В нашем случае он применяется к каждому слагаемому в скобках. \[16 \cdot (2 - \frac{5}{8} + \frac{1}{2}) = 16 \cdot 2 - 16 \cdot \frac{5}{8} + 16 \cdot \frac{1}{2}\] Выполним каждое умножение: \(16 \cdot 2 = 32\) \(16 \cdot \frac{5}{8} = \frac{16 \cdot 5}{8} = \frac{80}{8} = 10\) \(16 \cdot \frac{1}{2} = \frac{16 \cdot 1}{2} = \frac{16}{2} = 8\) Теперь подставим полученные значения: \[32 - 10 + 8 = 22 + 8 = 30\] Ответ: \(30\) 7. Вычислите, пользуясь распределительным законом умножения: \(\frac{20}{3} \cdot (\frac{2}{5} + \frac{1}{20})\). Решение: Применим распределительный закон умножения: \[\frac{20}{3} \cdot (\frac{2}{5} + \frac{1}{20}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{20}\] Выполним каждое умножение: Первое слагаемое: \[\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 5}\] Сократим 20 и 5 на 5: \(20 \div 5 = 4\), \(5 \div 5 = 1\). \[\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3}\] Второе слагаемое: \[\frac{20}{3} \cdot \frac{1}{20} = \frac{20 \cdot 1}{3 \cdot 20}\] Сократим 20 и 20 на 20: \(20 \div 20 = 1\), \(20 \div 20 = 1\). \[\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}\] Теперь сложим полученные дроби: \[\frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{8 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3\] Ответ: \(3\) 8. Вычислите, пользуясь распределительным законом умножения: \(\frac{10}{3} \cdot (\frac{4}{5} + \frac{1}{10})\). Решение: Применим распределительный закон умножения: \[\frac{10}{3} \cdot (\frac{4}{5} + \frac{1}{10}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{4}{5} + \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{10}\] Выполним каждое умножение: Первое слагаемое: \[\frac{10}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{10 \cdot 4}{3 \cdot 5}\] Сократим 10 и 5 на 5: \(10 \div 5 = 2\), \(5 \div 5 = 1\). \[\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3}\] Второе слагаемое: \[\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{10 \cdot 1}{3 \cdot 10}\] Сократим 10 и 10 на 10: \(10 \div 10 = 1\), \(10 \div 10 = 1\). \[\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}\] Теперь сложим полученные дроби: \[\frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{8 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3\] Ответ: \(3\) 9. Вычислите наиболее удобным способом: а) \(9\frac{13}{14} \cdot \frac{11}{15} + 5\frac{1}{14} \cdot \frac{11}{15}\); б) \(9\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{17} - 2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{17}\). Решение: а) \(9\frac{13}{14} \cdot \frac{11}{15} + 5\frac{1}{14} \cdot \frac{11}{15}\) Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель \(\frac{11}{15}\). Вынесем его за скобки, используя распределительный закон умножения в обратном порядке: \(a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c\). \[(9\frac{13}{14} + 5\frac{1}{14}) \cdot \frac{11}{15}\] Сложим смешанные числа в скобках. Отдельно сложим целые части и дробные части. \(9 + 5 = 14\) \(\frac{13}{14} + \frac{1}{14} = \frac{13 + 1}{14} = \frac{14}{14} = 1\) Значит, сумма в скобках равна \(14 + 1 = 15\). Теперь выполним умножение: \[15 \cdot \frac{11}{15} = \frac{15 \cdot 11}{15}\] Сократим 15 и 15 на 15: \[\frac{1 \cdot 11}{1} = 11\] Ответ: \(11\) б) \(9\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{17} - 2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{17}\) Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель \(\frac{5}{17}\). Вынесем его за скобки: \(a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c\). \[(9\frac{3}{5} - 2\frac{4}{5}) \cdot \frac{5}{17}\] Вычтем смешанные числа в скобках. \(9\frac{3}{5} - 2\frac{4}{5}\) Так как \(\frac{3}{5} < \frac{4}{5}\), займем единицу у целой части первого числа: \(9\frac{3}{5} = 8 + 1 + \frac{3}{5} = 8 + \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = 8\frac{8}{5}\) Теперь вычтем: \(8\frac{8}{5} - 2\frac{4}{5} = (8 - 2) + (\frac{8}{5} - \frac{4}{5}) = 6 + \frac{4}{5} = 6\frac{4}{5}\) Переведем \(6\frac{4}{5}\) в неправильную дробь: \(6\frac{4}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{30 + 4}{5} = \frac{34}{5}\) Теперь выполним умножение: \[\frac{34}{5} \cdot \frac{5}{17} = \frac{34 \cdot 5}{5 \cdot 17}\] Сократим 5 и 5 на 5: Сократим 34 и 17 на 17: \(34 \div 17 = 2\), \(17 \div 17 = 1\). \[\frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 2\] Ответ: \(2\) 10. Вычислите наиболее удобным способом: \(\frac{8}{11} \cdot 3\frac{2}{3} + 3\frac{2}{3} \cdot 7\frac{4}{7} + 9\frac{3}{7} \cdot 3\frac{2}{3}\). Решение: Заметим, что во всех трех слагаемых есть общий множитель \(3\frac{2}{3}\). Вынесем его за скобки. Сначала переведем \(3\frac{2}{3}\) в неправильную дробь: \(3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{9 + 2}{3} = \frac{11}{3}\) Теперь вынесем \(\frac{11}{3}\) за скобки: \[\frac{11}{3} \cdot (\frac{8}{11} + 7\frac{4}{7} + 9\frac{3}{7})\] Сложим числа в скобках. Сначала сложим смешанные числа: \(7\frac{4}{7} + 9\frac{3}{7} = (7 + 9) + (\frac{4}{7} + \frac{3}{7}) = 16 + \frac{7}{7} = 16 + 1 = 17\) Теперь сложим это с \(\frac{8}{11}\): \[\frac{8}{11} + 17 = 17\frac{8}{11}\] Переведем \(17\frac{8}{11}\) в неправильную дробь: \(17\frac{8}{11} = \frac{17 \cdot 11 + 8}{11} = \frac{187 + 8}{11} = \frac{195}{11}\) Теперь выполним умножение: \[\frac{11}{3} \cdot \frac{195}{11} = \frac{11 \cdot 195}{3 \cdot 11}\] Сократим 11 и 11 на 11: \[\frac{1 \cdot 195}{3 \cdot 1} = \frac{195}{3}\] Выполним деление: \[195 \div 3 = 65\] Ответ: \(65\)