Вариант 1
1. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:
Чтобы найти точки пересечения с осью \(Ox\), нужно приравнять функцию к нулю (\(y=0\)).
Чтобы найти точки пересечения с осью \(Oy\), нужно подставить \(x=0\) в функцию.
1) \(f(x) = \frac{1}{3}x - 8\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(\frac{1}{3}x - 8 = 0\)
\(\frac{1}{3}x = 8\)
\(x = 8 \cdot 3\)
\(x = 24\)
Точка пересечения с осью \(Ox\): \((24; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(f(0) = \frac{1}{3} \cdot 0 - 8\)
\(f(0) = -8\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -8)\).
2) \(g(x) = \frac{5-3x}{4x+1}\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(\frac{5-3x}{4x+1} = 0\)
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
\(5-3x = 0\)
\(3x = 5\)
\(x = \frac{5}{3}\)
Проверим знаменатель: \(4x+1 \neq 0\). При \(x = \frac{5}{3}\), \(4 \cdot \frac{5}{3} + 1 = \frac{20}{3} + 1 = \frac{23}{3} \neq 0\). Значит, \(x = \frac{5}{3}\) является точкой пересечения.
Точка пересечения с осью \(Ox\): \((\frac{5}{3}; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(g(0) = \frac{5-3 \cdot 0}{4 \cdot 0+1}\)
\(g(0) = \frac{5}{1}\)
\(g(0) = 5\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 5)\).
3) \(h(x) = x^2 - 8x - 9\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(x^2 - 8x - 9 = 0\)
Используем формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac\).
\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\)
\(x_1 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((-1; 0)\) и \((9; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(h(0) = 0^2 - 8 \cdot 0 - 9\)
\(h(0) = -9\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -9)\).
4) \(g(x) = \frac{x^2-3}{x^2+5}\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(\frac{x^2-3}{x^2+5} = 0\)
\(x^2-3 = 0\)
\(x^2 = 3\)
\(x = \pm\sqrt{3}\)
Проверим знаменатель: \(x^2+5 \neq 0\). Так как \(x^2 \ge 0\), то \(x^2+5 \ge 5\), значит, знаменатель никогда не равен нулю. Корни \(x = \sqrt{3}\) и \(x = -\sqrt{3}\) подходят.
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((\sqrt{3}; 0)\) и \((-\sqrt{3}; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(g(0) = \frac{0^2-3}{0^2+5}\)
\(g(0) = \frac{-3}{5}\)
\(g(0) = -0,6\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -0,6)\).
2. Найдите нули функции:
Нули функции - это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\).
1) \(f(x) = 0,3x+7\)
\(0,3x+7 = 0\)
\(0,3x = -7\)
\(x = -\frac{7}{0,3}\)
\(x = -\frac{70}{3}\)
\(x = -23\frac{1}{3}\)
2) \(f(x) = 0,5x^2 - 3x - 2\)
\(0,5x^2 - 3x - 2 = 0\)
Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
\(x^2 - 6x - 4 = 0\)
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52\)
\(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}\)
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 13}}{2}\)
\(x = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2}\)
\(x = 3 \pm \sqrt{13}\)
Нули функции: \(x_1 = 3 - \sqrt{13}\), \(x_2 = 3 + \sqrt{13}\).
3) \(f(x) = \sqrt{x+2}\)
\(\sqrt{x+2} = 0\)
Возведем обе части в квадрат:
\(x+2 = 0\)
\(x = -2\)
Область определения функции: \(x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\). Значение \(x = -2\) входит в область определения.
Нуль функции: \(x = -2\).
4) \(f(x) = \frac{x^2-5x+4}{x-4}\)
\(\frac{x^2-5x+4}{x-4} = 0\)
Числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.
\(x^2-5x+4 = 0\)
Найдем корни квадратного уравнения:
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\)
\(x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
Теперь проверим знаменатель: \(x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\).
Значение \(x_1 = 1\) подходит, так как \(1 \neq 4\).
Значение \(x_2 = 4\) не подходит, так как при \(x=4\) знаменатель равен нулю.
Нуль функции: \(x = 1\).
5) \(f(x) = \sqrt{25-x^2}\)
\(\sqrt{25-x^2} = 0\)
Возведем обе части в квадрат:
\(25-x^2 = 0\)
\(x^2 = 25\)
\(x = \pm 5\)
Область определения функции: \(25-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 25 \Rightarrow -5 \le x \le 5\). Оба значения \(x = 5\) и \(x = -5\) входят в область определения.
Нули функции: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 5\).
6) \(f(x) = \sqrt{x^2+4}\)
\(\sqrt{x^2+4} = 0\)
Возведем обе части в квадрат:
\(x^2+4 = 0\)
\(x^2 = -4\)
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Нулей функции нет.
7) \(f(x) = x\sqrt{x-2}\)
\(x\sqrt{x-2} = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) \(x = 0\)
2) \(\sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Область определения функции: \(x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\).
Значение \(x = 0\) не входит в область определения, так как \(0 < 2\).
Значение \(x = 2\) входит в область определения.
Нуль функции: \(x = 2\).
Вариант 2
1. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:
1) \(f(x) = 3 - 0,25x\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(3 - 0,25x = 0\)
\(0,25x = 3\)
\(x = \frac{3}{0,25}\)
\(x = 3 \cdot 4\)
\(x = 12\)
Точка пересечения с осью \(Ox\): \((12; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(f(0) = 3 - 0,25 \cdot 0\)
\(f(0) = 3\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 3)\).
2) \(g(x) = \frac{2x+3}{x-3}\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(\frac{2x+3}{x-3} = 0\)
\(2x+3 = 0\)
\(2x = -3\)
\(x = -\frac{3}{2}\)
Проверим знаменатель: \(x-3 \neq 0\). При \(x = -\frac{3}{2}\), \(-\frac{3}{2} - 3 = -\frac{9}{2} \neq 0\). Значит, \(x = -\frac{3}{2}\) является точкой пересечения.
Точка пересечения с осью \(Ox\): \((-\frac{3}{2}; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(g(0) = \frac{2 \cdot 0+3}{0-3}\)
\(g(0) = \frac{3}{-3}\)
\(g(0) = -1\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -1)\).
3) \(h(x) = x^2 - 4x + 3\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(x^2 - 4x + 3 = 0\)
\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\)
\(x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((1; 0)\) и \((3; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(h(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3\)
\(h(0) = 3\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 3)\).
4) \(g(x) = \frac{x^2-2}{x^2+2}\)
Пересечение с осью \(Ox\):
\(\frac{x^2-2}{x^2+2} = 0\)
\(x^2-2 = 0\)
\(x^2 = 2\)
\(x = \pm\sqrt{2}\)
Проверим знаменатель: \(x^2+2 \neq 0\). Так как \(x^2 \ge 0\), то \(x^2+2 \ge 2\), значит, знаменатель никогда не равен нулю. Корни \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\) подходят.
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((\sqrt{2}; 0)\) и \((-\sqrt{2}; 0)\).
Пересечение с осью \(Oy\):
\(g(0) = \frac{0^2-2}{0^2+2}\)
\(g(0) = \frac{-2