Задача 3. Решите систему неравенств:
\[ \begin{cases} 3x - 2 > x + 1 \\ x - 2 < 4 - 2x \end{cases} \]Решение:
Решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство:
\[ 3x - 2 > x + 1 \]Перенесем \(x\) в левую часть, а числа в правую:
\[ 3x - x > 1 + 2 \] \[ 2x > 3 \]Разделим обе части на 2:
\[ x > \frac{3}{2} \] \[ x > 1.5 \]Второе неравенство:
\[ x - 2 < 4 - 2x \]Перенесем \(x\) в левую часть, а числа в правую:
\[ x + 2x < 4 + 2 \] \[ 3x < 6 \]Разделим обе части на 3:
\[ x < \frac{6}{3} \] \[ x < 2 \]Теперь объединим решения обоих неравенств. Нам нужны значения \(x\), которые одновременно больше 1.5 и меньше 2.
\[ 1.5 < x < 2 \]Ответ: \(x \in (1.5; 2)\)
Задача 4.
а) Постройте график функции \(y = x^2 - 4x + 3\).
б) Определите, проходит ли график этой функции через точку \(A(-2; 12)\).
в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.
Решение:
а) Построим график функции \(y = x^2 - 4x + 3\).
Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен 1 (положительный).
Найдем координаты вершины параболы \((x_в; y_в)\).
\[ x_в = -\frac{b}{2a} \]В нашем случае \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).
\[ x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]Найдем \(y_в\), подставив \(x_в = 2\) в уравнение функции:
\[ y_в = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]Вершина параболы находится в точке \((2; -1)\).
Найдем точки пересечения с осью \(Ox\) (нули функции), приравняв \(y\) к нулю:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]Используем формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \]Два корня:
\[ x_1 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]Точки пересечения с осью \(Ox\): \((1; 0)\) и \((3; 0)\).
Найдем точку пересечения с осью \(Oy\), подставив \(x = 0\) в уравнение функции:
\[ y = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \]Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 3)\).
Для построения графика можно использовать эти точки: вершина \((2; -1)\), нули функции \((1; 0)\) и \((3; 0)\), точка пересечения с осью \(Oy\) \((0; 3)\). Также можно взять симметричную точку относительно оси параболы \(x=2\), например, для \(x=4\):
\[ y = (4)^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \]Точка \((4; 3)\).
График будет выглядеть как парабола, проходящая через эти точки.
б) Определим, проходит ли график этой функции через точку \(A(-2; 12)\).
Для этого подставим координаты точки \(A\) в уравнение функции \(y = x^2 - 4x + 3\).
Если равенство будет верным, то график проходит через эту точку.
Подставим \(x = -2\) и \(y = 12\):
\[ 12 = (-2)^2 - 4(-2) + 3 \] \[ 12 = 4 + 8 + 3 \] \[ 12 = 15 \]Получили неверное равенство \(12 = 15\).
Следовательно, график функции не проходит через точку \(A(-2; 12)\).
в) Укажем промежутки возрастания и убывания функции.
Так как это парабола с ветвями, направленными вверх, функция убывает до вершины и возрастает после вершины.
Координата \(x\) вершины параболы \(x_в = 2\).
Функция убывает на промежутке \((-\infty; x_в]\), то есть на \((-\infty; 2]\).
Функция возрастает на промежутке \([x_в; +\infty)\), то есть на \([2; +\infty)\).
Ответ:
а) График функции \(y = x^2 - 4x + 3\) - парабола с вершиной в точке \((2; -1)\), пересекающая ось \(Ox\) в точках \((1; 0)\) и \((3; 0)\), ось \(Oy\) в точке \((0; 3)\).
б) График функции не проходит через точку \(A(-2; 12)\).
в) Функция убывает на промежутке \((-\infty; 2]\). Функция возрастает на промежутке \([2; +\infty)\).
Задача 5. Мяч подбросили вертикально вверх. Поднявшись на некоторую высоту, он упал на землю. На рисунке изображён график зависимости высоты, на которой находится мяч, от времени полёта. Определите, через сколько секунд после начала движения мяч взлетел на максимальную высоту и чему равна эта высота.
Решение:
Посмотрим на график. Ось \(h\) (вертикальная) обозначает высоту в метрах, ось \(t\) (горизонтальная) обозначает время в секундах.
Максимальная высота соответствует самой высокой точке на графике (вершине параболы).
Найдем координаты этой точки на графике:
По оси времени \(t\): вершина находится над отметкой 1 секунда.
По оси высоты \(h\): вершина находится на отметке 7 метров.
Таким образом, мяч взлетел на максимальную высоту через 1 секунду после начала движения, и эта максимальная высота равна 7 метрам.
Ответ: Мяч взлетел на максимальную высоту через 1 секунду. Максимальная высота равна 7 метрам.
Задача 6. Найдите все значения \(x\), при которых верно неравенство \(16 - x^2 > 0\).
Решение:
Дано неравенство:
\[ 16 - x^2 > 0 \]Перепишем его в виде:
\[ -x^2 + 16 > 0 \]Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\[ x^2 - 16 < 0 \]Разложим левую часть как разность квадратов \((a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))\):
\[ (x - 4)(x + 4) < 0 \]Найдем корни уравнения \((x - 4)(x + 4) = 0\):
\[ x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4 \] \[ x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4 \]Эти корни делят числовую ось на три интервала: \((-\infty; -4)\), \((-4; 4)\), \((4; +\infty)\).
Проверим знак выражения \((x - 4)(x + 4)\) на каждом интервале:
1. Интервал \((-\infty; -4)\): Возьмем, например, \(x = -5\).
\[ (-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) = 9 > 0 \]2. Интервал \((-4; 4)\): Возьмем, например, \(x = 0\).
\[ (0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) = -16 < 0 \]3. Интервал \((4; +\infty)\): Возьмем, например, \(x = 5\).
\[ (5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) = 9 > 0 \]Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля \((x^2 - 16 < 0)\). Это выполняется на интервале \((-4; 4)\).
Ответ: \(x \in (-4; 4)\)
Задача 7. Определите, при каких значениях \(a\) имеет смысл выражение \(\frac{\sqrt{a + 3}}{2a}\).
Решение:
Выражение \(\frac{\sqrt{a + 3}}{2a}\) имеет смысл, если выполняются два условия:
1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
\[ a + 3 \ge 0 \]2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
\[ 2a \ne 0 \]Решим первое условие:
\[ a + 3 \ge 0 \] \[ a \ge -3 \]Решим второе условие:
\[ 2a \ne 0 \]Разделим обе части на 2:
\[ a \ne 0 \]Теперь объединим оба условия. \(a\) должно быть больше или равно -3, но при этом \(a\) не должно быть равно 0.
Это можно записать как объединение двух интервалов:
\[ [-3; 0) \cup (0; +\infty) \]Ответ: Выражение имеет смысл при \(a \in [-3; 0) \cup (0; +\infty)\).
Задача 8. Не выполняя построения графиков, определите, какая из следующих парабол не пересекает ось \(x\):
1) \(y = 2x^2 - 3x + 1\)
2) \(y = -3x^2 + 2x - 1\)
Решение:
Парабола не пересекает ось \(x\), если у соответствующего квадратного уравнения нет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) отрицателен, то есть \(D < 0\).
Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\).
Рассмотрим первую параболу:
1) \(y = 2x^2 - 3x + 1\)
Здесь \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\).
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]Так как \(D = 1 > 0\), у этого квадратного уравнения есть два действительных корня. Значит, эта парабола пересекает ось \(x\) в двух точках.
Рассмотрим вторую параболу:
2) \(y = -3x^2 + 2x - 1\)
Здесь \(a = -3\), \(b = 2\), \(c = -1\).
Вычислим дискриминант:
\[ D = (2)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 - 12 = -8 \]Так как \(D = -8 < 0\), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Значит, эта парабола не пересекает ось \(x\).
Ответ: Парабола \(y = -3x^2 + 2x - 1\) не пересекает ось \(x\).