Задача 484.
а) Решить уравнение: \( \log_3 x = -1 \)
По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
В нашем случае \( a = 3 \), \( c = -1 \), \( b = x \).
Значит, \( x = 3^{-1} \).
\( x = \frac{1}{3} \).
Ответ: \( x = \frac{1}{3} \).
б) Решить уравнение: \( \log_{\frac{1}{6}} x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{6}\right)^{-3} \).
\( x = 6^3 \).
\( x = 216 \).
Ответ: \( x = 216 \).
в) Решить уравнение: \( \log_5 x = 2 \)
По определению логарифма:
\( x = 5^2 \).
\( x = 25 \).
Ответ: \( x = 25 \).
г) Решить уравнение: \( \log_7 x = -2 \)
По определению логарифма:
\( x = 7^{-2} \).
\( x = \frac{1}{7^2} \).
\( x = \frac{1}{49} \).
Ответ: \( x = \frac{1}{49} \).
Задача 485.
а) Решить уравнение: \( \log_4 x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = 4^{-3} \).
\( x = \frac{1}{4^3} \).
\( x = \frac{1}{64} \).
Ответ: \( x = \frac{1}{64} \).
б) Решить уравнение: \( \log_{\sqrt{5}} x = 0 \)
По определению логарифма:
\( x = (\sqrt{5})^0 \).
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
\( x = 1 \).
Ответ: \( x = 1 \).
в) Решить уравнение: \( \log_{\frac{1}{7}} x = 1 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{7}\right)^1 \).
\( x = \frac{1}{7} \).
Ответ: \( x = \frac{1}{7} \).
г) Решить уравнение: \( \log_{\frac{1}{2}} x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \).
\( x = 2^3 \).
\( x = 8 \).
Ответ: \( x = 8 \).
Задача 486.
а) Решить уравнение: \( \log_x 81 = 4 \)
По определению логарифма:
\( x^4 = 81 \).
Мы знаем, что \( 3^4 = 81 \).
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным и не равным 1, то \( x = 3 \).
Ответ: \( x = 3 \).
б) Решить уравнение: \( \log_x \frac{1}{16} = 2 \)
По определению логарифма:
\( x^2 = \frac{1}{16} \).
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
\( x = \sqrt{\frac{1}{16}} \).
\( x = \frac{1}{4} \).
Основание логарифма \( x \) должно быть положительным, поэтому выбираем положительное значение.
Ответ: \( x = \frac{1}{4} \).
в) Решить уравнение: \( \log_x \frac{1}{4} = -2 \)
По определению логарифма:
\( x^{-2} = \frac{1}{4} \).
Перепишем \( x^{-2} \) как \( \frac{1}{x^2} \):
\( \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4} \).
Отсюда \( x^2 = 4 \).
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным, то \( x = 2 \).
Ответ: \( x = 2 \).
г) Решить уравнение: \( \log_x 27 = 3 \)
По определению логарифма:
\( x^3 = 27 \).
Мы знаем, что \( 3^3 = 27 \).
Значит, \( x = 3 \).
Ответ: \( x = 3 \).